Question

В параллелограмме ABCD, одна из сторон которого вдвое больше другой, лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма. б) Найдите площадь параллелограмма, если AC =4

Answer 1

Окружности заключены между параллельными, следовательно их диаметры равны расстоянию между параллельными.

Окружности лежат внутри параллелограмма, следовательно заключены между большими сторонами.

Центры равноудалены от больших сторон => линия центров параллельна большим сторонам параллелограмма.

Данный параллелограмм можно разделить на два ромба.

В ромб можно вписать окружность.

Окружности касаются => внутренняя касательная перпендикулярна линии центров, а значит и большим сторонам параллелограмма.

Ромб с перпендикулярными сторонами - квадрат.

Искомая площадь равна двум квадратам со стороной x.

По теореме Пифагора x=4/√5

S =2*16/5 =6,4

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим некоторые важные параметры и свойства фигуры.

Дано:

1. Один из углов параллелограмма равен 90 градусов, так как он прямоугольный.
2. Длина стороны AC равна 4.

Поскольку одна из сторон параллелограмма вдвое больше другой, предположим, что более короткая сторона равна x, а более длинная сторона равна 2x.

Теперь нарисуем параллелограмм и вместо сторон AB и AD используем x и 2x:

cssCopy code
   A---------B
   |         |
   |         |
   |         |
   |         |
   D---------C

Давайте также нарисуем внутренние окружности, касающиеся трёх сторон параллелограмма:

cssCopy code
   A---------B
   |    o    |
   |   ooo   |
   |    o    |
   |         |
   D---------C

Теперь мы видим, что радиусы окружностей равны радиусам вписанных окружностей треугольников ADC и ABC. Поскольку ADC и ABC являются прямоугольными треугольниками, их радиусы равны половине длины гипотенузы. Таким образом, радиус вписанных окружностей для ADC и ABC равен x/2 и 2x/2 (то есть x), соответственно.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC и применить формулу для площади треугольника с вписанной окружностью:

Площадь ABC = полупериметр ABC * радиус вписанной окружности

Полупериметр ABC = (AB + BC + AC) / 2 = (x + 2x + 4) / 2 = (3x + 4) / 2

Теперь мы можем выразить площадь ABC через радиус x:

Площадь ABC = (3x + 4) / 2 * x

Теперь нам нужно найти x. Мы знаем, что радиус вписанной окружности для ADC равен x/2, и сторона AC равна 4. Мы также знаем, что радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника следующим образом:

Площадь треугольника = полупериметр * радиус вписанной окружности

Площадь ADC = (4 + x + x) / 2 * (x/2)

Теперь мы можем найти x:

(4 + x + x) / 2 * (x/2) = (4 + 2x) / 2 * (x/2) = (2 + x) * (x/2) = x^2/2 + x/2

Сравниваем это с известной нам площадью треугольника ADC (равной половине площади параллелограмма ABC):

x^2/2 + x/2 = (1/2) * (3x + 4) / 2 * x

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

2x^2 + 2x = 3x^2 + 4x

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

3x^2 + 4x - 2x^2 - 2x = 0

x^2 + 2x = 0

x(x + 2) = 0

Теперь мы видим два возможных значения для x: x = 0 и x = -2. Однако отрицательное значение x не имеет смысла в данном контексте, поэтому мы выбираем положительное значение x:

x = 0

Теперь мы можем найти площадь ABC:

Площадь ABC = (3x + 4) / 2 * x = (3 * 0 + 4) / 2 * 0 = 0

Таким образом, площадь параллелограмма ABC равна 0.