Question

68. Бісектриса кута А паралелограма ABCD ділить сторо- ну ВС на два відрізки ВК і КС так, що ВК : КС = 3:7.Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметрдорівнює 78 см.​

Answer 1

Противоположные стороны параллелограмма равны (свойство параллелограмма) => AB = CD, BC = AD,

Периметр равен сумме всех сторон, поскольку противоположные стороны равны, то периметр равен удвоенной сумме смежных сторон => P = 2(AB+BC) = 78см, 2(AB+BC) = 78см, AB+BC = 39см.

BK:KC = 3:7, BK = 3x, KC = 7x, BK + KC = 3x + 7x = 10x = BC.

Биссектрисса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник (свойство параллелограмма) => треуг. ABK — равнобедренный, AB = BK. =>

AB = BK = 3x,

AB + BC = 3x + 10x = 13x = 39см, x = 3см.

AB = 3x = 3 × 3см = 9см,

BC = 10x = 10 × 3см = 30см.

Ответ: AB = 9см, BC = 30см, CD = 9см, AD = 30см.

Answer 2

Позначимо сторони паралелограма ABCD наступним чином: AB = a (довжина сторони AB) BC = b (довжина сторони BC) CK = 3x (довжина відрізку CK) KS = 7x (довжина відрізку KS)

Оскільки бісектриса кута А ділить сторону BC на відрізки VK і KS у співвідношенні 3:7, ми можемо сказати, що:

VK : KS = 3 : 7 VK + KS = b

З цього ми отримуємо систему рівнянь: 3x : 7x = 3 : 7 VK + KS = b

Розв'яжемо цю систему рівнянь. Спочатку знайдемо значення x: 3x / 7x = 3 / 7 3 / 7 = VK / KS VK = (3 / 7)KS

Тепер підставимо VK у друге рівняння: (3 / 7)KS + KS = b (10 / 7)KS = b KS = (7 / 10)b

Тепер ми знаємо довжину сторони KS у термінах b. Периметр паралелограма складає 78 см, тому ми можемо сказати:

2a + 2b = 78

Також, оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, ми можемо сказати:

a + c = b + d

Тепер підставимо KS та VK у ці рівняння: a + c = b + d a + (7 / 10)b = b + (3 / 10)b a = (3 / 10)b

Тепер підставимо це значення a у вираз для периметру: 2a + 2b = 78 2((3 / 10)b) + 2b = 78 (6 / 10)b + (20 / 10)b = 78 (26 / 10)b = 78 b = (10 / 26) * 78 b ≈ 30 см

Тепер знаходимо a: a = (3 / 10)b ≈ (3 / 10) * 30 ≈ 9 см

Отже, сторони паралелограма ABCD мають наступні довжини: AB ≈ 9 см BC ≈ 30 см