Question

Помогите! На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили соответсвенно точки E и M так, что отрезок CE пересекает отрезок AM в его середине — точка O. Известно, что AB=CO и EA=EO. Докажите, что отрезок AM — медиана треугольника ABC.

Answer 1

EA=EO, △AEO - р/б => ∠EAO=∠EOA (углы при основании)

∠EOA=∠COM (вертикальные)

=> ∠EAO=∠COM

AB=CO, AO=OM (по условию)

△BAO=△COM (по двум сторонам и углу между ними)

BO=CM, ∠AOB=∠OMC

∠BOM=∠BMO (смежные с равными) => △OBM - р/б, BO=BM

=> CM=BM, AM - медиана

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок AM является медианой треугольника ABC, давайте воспользуемся свойствами медиан треугольника.

Медиана треугольника соединяет вершину смежную с отрезком и середину противоположной стороны. В данном случае, вершина A соединяется с серединой стороны BC.

Дано:

1. AB = CO (1)
2. EA = EO (2)

Чтобы доказать, что AM является медианой треугольника ABC, мы должны показать, что точка M - середина стороны BC.

Рассмотрим треугольники AEO и OMC:

Треугольник AEO:

• EA = EO (по условию)
• Угол EAO равен углу OCM (по построению)
• Угол AEO равен углу MCO (по построению)

Треугольник OMC:

• ОС = ОМ (по построению)
• Угол OCM равен углу EAO (по построению)
• Угол MCO равен углу AEO (по построению)

Теперь у нас есть два треугольника, у которых соответствующие стороны равны, и у них равны две пары углов. Согласно условию равенства сторон и пар углов, эти треугольники подобны. Из подобия треугольников следует, что соответствующие высоты (то есть отрезок AM и отрезок MC) тоже пропорциональны.

С учетом этого мы можем заключить, что AM делит сторону BC пополам. Таким образом, отрезок AM является медианой треугольника ABC, и доказательство завершено.