Question

Радіус основи конуса дорівнює 10 см, а кут при вершині осьвого перерізу-60 градусів. Знайдіть висоту конусав можно детально

Answer 1

Ответ:

10√3

Объяснение:

задание в файле

Answer 2

Для знаходження висоти конуса за відомим радіусом основи і кутом при вершині осьового перерізу, вам знадобиться використовувати трикутник, утворений висотою, радіусом і бічною стороною конуса.

Позначення:

• Радіус основи конуса: $r = 10 \, \text{см}$
• Кут при вершині осьового перерізу: $\theta = 60^\circ$

Ми можемо розділити конус на два правильних трикутники. Перший з них буде прямокутним трикутником, утвореним висотою $h$, радіусом основи $r$, і половиною бічного ребра конуса, що буде медіаною в цьому трикутнику. Другий трикутник буде рівностороннім трикутником із кутом при вершині $60^\circ$, стороною, що дорівнює медіані, і однією з половини сторін основи конуса.

Знаючи це, ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження висоти $h$. Основний трикутник матиме такі сторони:

• Прямокутний катет (половина медіани) $a$
• Протилежний куту $60^\circ$ катет (половина сторони основи) $b$
• Гіпотенуза (висота конуса) $h$

Ми можемо використовувати тригонометричний тангенс для знаходження висоти:

$$\tan(60^\circ) = \frac{a}{b}$$

Ми знаємо, що $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ (за таблицею значень тригонометричних функцій), і $b = \frac{r}{2}$ (половина сторони основи). Таким чином, ми можемо знайти $a$:

$$\sqrt{3} = \frac{a}{\frac{r}{2}}$$

Тепер можемо розв'язати для $a$:

$$a = \sqrt{3} \cdot \frac{r}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot 10 \, \text{см}}{2} = 5\sqrt{3} \, \text{см}$$

Отже, ми знайшли довжину половини медіани конуса $a = 5\sqrt{3} \, \text{см}$.

Тепер ми можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження висоти $h$:

$$h = \sqrt{\text{Гіпотенуза}^2 - \text{Катет}^2} = \sqrt{r^2 - a^2}$$

Підставляючи відомі значення:

$$h = \sqrt{(10 \, \text{см})^2 - (5\sqrt{3} \, \text{см})^2} = \sqrt{100 \, \text{см}^2 - 75 \, \text{см}^2} = \sqrt{25 \, \text{см}^2} = 5 \, \text{см}$$

Отже, висота конуса дорівнює $5 \, \text{см}$.