Question

Докажите, что четырехугольник MNKP с вершинами М(-3; 2; 0), N (1;-6; 4), K (7; -4; 2), P(3; 4, -2) есть параллелограмм​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

По одному из свойств параллелограмма противоположные стороны равны (MN = KP); (MP = NK)

MN = (1-(-3) ; -6-2; 4-0) = (4;-8;4)   |MN| = $\sqrt{96}$

KP = (3-7; 4-(-4); -2-2  = (-4;8;-4)    |KP| = $\sqrt{96}$

MP = (3-(-3); 4-2; -2-0 ) = (6; 2;-2)  |MP| = $\sqrt{44}$

NK = (7-1; -4 -(-6); 2-4  = (6;2;-2)    |NK| = $\sqrt{44}$

Ответ: что и требовалось доказать

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник MNKP является параллелограммом, мы должны показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны. Для этого мы можем использовать векторное представление сторон.

Для начала найдем векторы, представляющие стороны MN, NK, KP и PM:

1. Вектор MN: MN = N - M = (1 - (-3), (-6) - 2, 4 - 0) = (4, -8, 4).
2. Вектор NK: NK = K - N = (7 - 1, (-4) - (-6), 2 - 4) = (6, 2, -2).
3. Вектор KP: KP = P - K = (3 - 7, 4 - (-4), (-2) - 2) = (-4, 8, -4).
4. Вектор PM: PM = M - P = (-3 - 3, 2 - 4, 0 - (-2)) = (-6, -2, 2).

Теперь мы можем проверить, являются ли противоположные стороны MN и KP, а также стороны NK и PM, параллельными. Для этого нужно убедиться, что векторы MN и KP, а также векторы NK и PM, коллинеарны (имеют параллельные направления).

Мы можем сделать это, рассмотрев отношение компонент векторов. Если отношение компонент равно постоянной константе для каждой пары векторов, то они параллельны. Давайте проверим:

Отношение компонент для векторов MN и KP:

• (4 / -4) = -1
• (-8 / 8) = -1
• (4 / -4) = -1

Отношение компонент для векторов NK и PM:

• (6 / -6) = -1
• (2 / -2) = -1
• (-2 / 2) = -1

В обоих случаях отношение компонент равно -1, что означает, что векторы MN и KP, а также векторы NK и PM, параллельны и имеют противоположные направления. Следовательно, стороны MN и KP, а также стороны NK и PM параллельны, что подтверждает, что четырехугольник MNKP является параллелограммом.