Question

В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь апеции, если большее основание равно 18 корень из 3, а один из углов трапеции равен 60°.​

Answer 1

Ответ:

   Обозначим трапецию АВСD, AB=CD, АD=18√3, ∠BAD=60°.  ∠ABD=90°. Треугольник АВD- прямоугольный, ⇒ ∠АDB=180°-90°-60°=30°. Сторона АВ противолежит углу 30° и равна половине AD. АВ=9√3. Опустим высоту ВН на большее основание. Треугольник АВН - прямоугольный, ∠ АВН=180°-90°-60°=30°. Катет АН=АВ:2=4,5√3. ⇒ DH=AD-AH=18√3-4,5√3=13,5√3. Высота ВН=АВ•sin60°=9√3•(√3/2)=13,5. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из тупого угла,  дели основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности⇒ DH=(AD+BC):2. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. S(ABCD)=BH•DH=12•13,5√3=162√3 (ед. площади)

==========

Как вариант решения можно  доказать, что треугольник DCB - равнобедренный, ВС=CD=AB, вычислить длину высоты и затем площадь ABCD.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться тригонометрией и геометрией.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны, и DC - большее основание.

Мы знаем, что один из углов трапеции равен 60 градусов. Это означает, что угол BCD равен 60 градусов, так как в сумме углов внутри треугольника BCD равна 180 градусов.

Теперь мы можем использовать свойство тригонометрических функций в равнобедренном треугольнике BCD. Так как треугольник BCD равнобедренный, то BD - это высота треугольника, а CD/2 - это основание треугольника. Мы знаем, что угол BCD равен 60 градусам. Тогда мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса:

cos(60°) = (CD/2) / BD

Теперь мы можем выразить BD:

BD = (CD/2) / cos(60°)

cos(60°) равен 1/2, поэтому:

BD = (CD/2) / (1/2) = CD

Таким образом, BD = CD. Это означает, что треугольник BCD равнобедренный, и BD является медианой треугольника BCD.

Теперь мы можем найти площадь треугольника BCD, используя формулу для площади треугольника:

Площадь BCD = (1/2) * BD * CD = (1/2) * (CD) * (CD) = (1/2) * CD^2

Теперь у нас есть площадь треугольника BCD, который составляет половину площади трапеции ABCD. Поэтому площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади треугольника BCD:

Площадь ABCD = 2 * (1/2) * CD^2 = CD^2

Мы знаем, что большее основание трапеции CD равно 18 корень из 3. Таким образом, CD = 18√3.

Теперь мы можем найти площадь трапеции ABCD:

Площадь ABCD = (18√3)^2 = 324 * 3 = 972 квадратных единиц.

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 972 квадратных единиц.