Question

В прямоугольном ABC( C=90°) BC = 9. Медианы треугольника пересекаются в точке O, OB = 10.Найдите площадь треугольника А1ОВ и длины всех медиан.​

Answer 1

Ответ:

108см².; ВВ1=15см.;

Объяснение:

медіани перетинаються у відношені 2:1 від кута, отже медіана ВВ1=15см.

за теоремою піфагора в трикутнику В1ВС:

$cb1 = \sqrt{15^{2} - {9}^{2} } = \sqrt{144} = 12$

отже катет АС=2×СВ1=24см.(властивість медіан)

S=0,5×AC×BC=12×9=108см².

в трикутнику А1АС:

[tex]АА1 = \sqrt{24^{2} - {4,5}^{2} }

Answer 2

Для начала найдем площадь треугольника $ΔABC$. Мы знаем, что длина медианы $OB$ равна 10, а длина медианы $BM$ равна половине длины стороны $BC$, то есть $BM = \frac{BC}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона, если мы знаем длины всех трех сторон. В данном случае, у нас есть две стороны ($OB$ и $BM$), а третью сторону ($AM$) мы можем найти, используя теорему Пифагора, так как у нас есть прямой угол в точке $C$:

$AM^2 = AB^2 + BM^2$ $AM^2 = 9^2 + 4.5^2$ $AM^2 = 81 + 20.25$ $AM^2 = 101.25$ $AM = \sqrt{101.25} = 10.125$

Теперь мы знаем длины всех трех сторон треугольника $ΔABC$: $AB = 9$, $BM = 4.5$ и $AM = 10.125$.

Теперь можем найти площадь треугольника $ΔABC$ с использованием формулы Герона:

$S_{ΔABC} = \sqrt{s(s - AB)(s - BM)(s - AM)}$

где $s$ - полупериметр треугольника, который можно найти как:

$s = \frac{AB + BM + AM}{2}$ $s = \frac{9 + 4.5 + 10.125}{2}$ $s = \frac{23.625}{2}$ $s = 11.8125$

Теперь можем вычислить площадь:

$S_{ΔABC} = \sqrt{11.8125 \cdot (11.8125 - 9) \cdot (11.8125 - 4.5) \cdot (11.8125 - 10.125)}$

$S_{ΔABC} = \sqrt{11.8125 \cdot 2.8125 \cdot 7.3125 \cdot 1.6875}$

$S_{ΔABC} = \sqrt{242.0571289}$

$S_{ΔABC} \approx 15.57$

Итак, площадь треугольника $ΔABC$ приближенно равна 15.57 квадратным единицам.

Теперь найдем длины медиан треугольника $ΔABC$. Медианы делят друг друга в отношении 2:1. Таким образом, медиана $AO$ будет равна двум третьим длины медианы $BM$, и медиана $BO$ будет равна двум третьим длины медианы $AM$.

Длина медианы $AO$:

$AO = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3} \cdot 4.5 = 3$

Длина медианы $BO$:

$BO = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 10.125 = 6.75$

Итак, длина медианы $AO$ равна 3, а длина медианы $BO$ равна 6.75.