Question

В прямом параллелепипеде с высотой √15м, а стороны основания равны 8 и 3м, угол между ними 60°. Найти меньшую диагональ параллелепипеда.

Answer 1

Ответ:

Меньшая диагональ параллелепипеда идет из меньшей диагонали основания, а меньшая диагональ основания лежит напротив меньшего угла.

По теореме косинусов:

${d}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} - 2ab \cos( \alpha )$

${d}^{2} = {8}^{2} + {3}^{2} - 2 \times 8 \times 3 \times \cos( {60}^{ \circ} ) \\ { d }^{2} = 64 + 9 - 48 \times \frac{1}{2} \\ {d}^{2} = 73 - 24 \\ {d}^{2} = 49 \\ d = \sqrt{49} \\ d = 7$

Теперь по теореме Пифагора

${D}^{2} = {d}^{2} + {H}^{2}$

${D}^{2} = {7}^{2} + { \sqrt{15} }^{2} \\ {D}^{2} = 49 + 15 \\ {D}^{2} = 64 \\ D = \sqrt{64} \\ D = 8$

Answer 2

Для нахождения меньшей диагонали прямоугольного параллелепипеда, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как меньшая диагональ будет гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого будет равен высоте параллелепипеда, а другой - длине бокового ребра параллелепипеда.

Длина высоты параллелепипеда √15 м. Длина одного из катетов (бокового ребра) равна 3 м. Для нахождения длины второго катета (меньшей диагонали) воспользуемся тригонометрической функцией синус:

sin(60°) = высота / меньший катет.

sin(60°) = √3 / 2 (значение синуса 60 градусов).

Теперь мы можем найти длину меньшей диагонали:

Меньшая диагональ = sin(60°) * высота = (√3 / 2) * √15 = (√3 * √15) / 2 = √(3 * 15) / 2 = √45 / 2 = (3√5) / 2 метра.

Таким образом, меньшая диагональ прямоугольного параллелепипеда равна (3√5) / 2 метра.