Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ!!!! Навколо трапеції з висотою 6 см описано коло. Кут між радіусами кола, проведеними до кінців бічної сторони, дорівнює 60°. Знайдіть площу трапеції.

Answer 1

Ответ:

$S = 36\sqrt{3}$ см²

Объяснение:

1. вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

2. вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Исходя из этого, мы можем найти диагональ трапеции.

∠COD = 60° по условию

∠CAD = 30° как вписанный, опирающийся на дугу в 60°.

Тогда из ΔACH находим гипотенузу. Она равна удвоенному катету, лежащему против угла в 30°.

АС = 12см.

Площадь трапеции равна через диагонали

$\displaystyle S=\frac{d_1*d_2}{2} *sin(\beta )$

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны, они по 30°.

Тогда угол между диагоналями равен

∠AMD = 180° - 2*30°  = 120°

Тогда площадь трапеции

$\displaystyle S=\frac{12*12}{2} *sin(120^o) = 72*\frac{\sqrt{3} }{2} =36\sqrt{3}$

На рисунке центр окружности лежит на основании трапеции. Это получается по углам. но на решение это не влияет, поэтому доказывать, где лежит центр не надо.

Answer 2

Для знаходження площі трапеції, нам потрібно розглянути спільну площу трапеції та описаного кола.

Спершу знайдемо радіус кола. Для цього розглянемо трикутник, утворений радіусом, висотою трапеції і половиною бічної сторони трапеції. Цей трикутник є рівностороннім трикутником, оскільки ми знаємо, що кут між радіусами дорівнює 60°.

За властивостями рівностороннього трикутника, усі його сторони рівні між собою. Також, половина бічної сторони трапеції рівна половині основи трапеції.

Нехай радіус кола буде R, висота трапеції - h, а бічна сторона трапеції - b. Тоді:

b/2 = h b = 2h

Також, у рівносторонньому трикутнику відомо, що всі сторони рівні, тобто:

R = h

Тепер ми можемо обчислити площу кола за допомогою формули для площі кола:

S_кола = π * R^2 = π * h^2

Тепер ми маємо площу кола, яку ми визначили за допомогою висоти трапеції. Але насправді нам потрібна лише спільна площа трапеції та кола, тобто ми віднімемо площу трикутника зі спільною основою та висотою від площі кола.

Площа трикутника дорівнює:

S_трикутника = (1/2) * b * h = (1/2) * (2h) * h = h^2

Тепер можемо знайти площу трапеції:

S_трапеції = S_кола - S_трикутника = π * h^2 - h^2 = (π - 1) * h^2

Знаючи, що висота трапеції дорівнює 6 см, підставимо це значення:

S_трапеції = (π - 1) * (6 см)^2 ≈ 75.4 см^2

Отже, площа трапеції дорівнює приблизно 75.4 квадратним сантиметрам.