Question

Дан прямоугольный треугольник mpk с гипотенузой MK.около треугольника описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если mp=18, m=30

Answer 1

Ответ:

6√3 ед.

Объяснение:

∠M=30°, значит МК=2 РК.

Пусть РК=х,  Тогда МК=2х.

По теореме Пифагора

МК²=МР²+РК²;  (2х)²=х²+18²;  4х²-х²=324;  3х²=324;  х²=108;  х=√108=6√3.

РК=6√3;  МК=6√3 * 2 = 12√3.

Радиус описанного круга вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. R=12√3 :2 = 6√3 ед.

Answer 2

Для нахождения радиуса описанной окружности в прямоугольном треугольнике, используем известные формулы связанные с описанными окружностями.

В прямоугольном треугольнике MPK с гипотенузой MK, зная стороны MP (18) и угол M (30°), мы можем воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности:

$R = \frac{abc}{4K}$

где:

• $a, b, c$ - стороны треугольника (в данном случае, $a = MP = 18$),
• $K$ - площадь треугольника.

Для вычисления площади треугольника по формуле $K = \frac{1}{2}ab\sin(C)$, нам также понадобится знание угла P (противолежащего стороне MPK), который равен $90° - 30° = 60°$.

Итак, площадь треугольника:

$K = \frac{1}{2} \times 18 \times MK \times \sin(60^\circ)$

Теперь нам нужно найти сторону MK с использованием прямоугольности треугольника. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{MP}{MK}$, откуда можно найти MK:

$MK = \frac{MP}{\sin(30^\circ)}$

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через MK:

$K = \frac{1}{2} \times 18 \times \frac{18}{\sin(30^\circ)} \times \sin(60^\circ)$

И, наконец, найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{18 \times MK \times 18}{4K}$

Подставляем значения и рассчитываем радиус. Начнем с вычисления MK:

$MK = \frac{18}{\sin(30^\circ)}$

$MK \approx 36$

Теперь вычисляем площадь K:

$K = \frac{1}{2} \times 18 \times 36 \times \sin(60^\circ)$

$K \approx 270$

И, наконец, вычисляем радиус R:

$R = \frac{18 \times 36 \times 18}{4 \times 270}$

$R \approx 6$

Итак, радиус описанной окружности примерно равен 6.