Question

Через точку К пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям трапеции, которая делит трапецию на два че- тырёхугольника. Найдите отношение площади четырёхугольника, прилегающего к меньшему основанию трапеции, к площади четырёхугольника, прилегающего к большему основанию, если точка К делит одну из диагоналей в отношении 3 : 5, считая от меньшего основания.

Answer 1

Ответ:

81/175

Объяснение:

Answer 2

а)Пусть в трапеции АВСD

АК:КС=2:3 => на отрезок АС приходится 8 частей.

ΔBCК ~ ΔDAK по двум углам ∠BCK=∠DAK как соответственные при BC||AD , ∠BKC=∠DKA как вертикальные =>

1)BC/AD=3/5 ,AD=5/3*BC,

2)BK/DK=3/5 .

3)h( к отр.BC)/h(к отр.AD)=3/5 , h(к отр.AD)=5/3* h( к отр.BC).

б)Выразим длину отрезка РМ.

1) ΔАРК ~ ΔАВС по двум углам ∠AКР=∠АСВ как соответственные при РК||ВС, АС-секущая ; ∠ВАС-общий

=> РК:ВС=АК:АС= , РК=(ВС*АК)/АС, РК=5/8*ВС.

2) Δ DMK ~ ΔDCB по двум углам ∠DKM=∠DBC как соответственные при MК||ВС, BD-секущая ; ∠BDC-общий

=> MК:ВС=DК:BD= , MК=(ВС*DК)/BD, MК=5/8*ВС.

3)PM=PK+KM=5/8*ВС+5/8*ВС=5/4*ВС.

в)S(BCK)=1/2* h( к отр.BC)*(BC+PM)=

=1/2* h( к отр.BC)*(BC+5/4*ВС)=

=1/2* h( к отр.BC)*(9/4*ВС);

S(DKA)=1/2* h( к отр.AD)*(AD+PM)=

=1/2* h( к отр.AD)*(5/3*BC+5/4*ВС)=

=1/2* 5/3* h( к отр.BC)(35/12*ВС);

S(BCK)/ S(DKA)=

=( 1/2* h( к отр.BC)*(9/4*ВС))/

1/2* 5/3* h( к отр.BC)*(35/12*ВС))=

=3/5*9/4*12/35=81/175

Answer 3

Давайте обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как точку K, меньшее основание как a, большее основание как b, и длины диагоналей как d1 и d2.

Известно, что точка K делит одну из диагоналей (допустим, d1) в отношении 3:5, считая от меньшего основания. То есть, если расстояние от точки K до меньшего основания равно 3x, то расстояние от точки K до большего основания равно 5x.

Теперь давайте рассмотрим два четырёхугольника, образованных прямой, проведенной через точку K:

1. Четырёхугольник с меньшим основанием:

   • Одна из его сторон равна 3x (расстояние от точки K до меньшего основания).
   • Другая сторона равна a (меньшее основание).
   • Две оставшиеся стороны равны d1 (диагональ трапеции).

2. Четырёхугольник с большим основанием:

   • Одна из его сторон равна 5x (расстояние от точки K до большего основания).
   • Другая сторона равна b (большее основание).
   • Две оставшиеся стороны равны d1 (диагональ трапеции).

Теперь мы можем найти площади этих двух четырёхугольников. Площадь четырёхугольника можно найти как произведение половины произведения диагоналей на синус угла между ними:

1. Площадь четырёхугольника с меньшим основанием:

   • S1 = 0.5 * (3x * d1) * sin(угол между 3x и d1)

2. Площадь четырёхугольника с большим основанием:

   • S2 = 0.5 * (5x * d1) * sin(угол между 5x и d1)

Обратите внимание, что угол между стороной и диагональю равнобедренного четырёхугольника равен 90 градусов. Таким образом, sin(90 градусов) равен 1.

Теперь выразим площади S1 и S2:

1. S1 = 0.5 * (3x * d1) * 1 = 1.5 * x * d1
2. S2 = 0.5 * (5x * d1) * 1 = 2.5 * x * d1

Теперь найдем отношение площади S1 к площади S2:

Отношение S1 к S2 = S1 / S2 = (1.5 * x * d1) / (2.5 * x * d1) = (1.5 / 2.5) = 3/5

Итак, отношение площади четырёхугольника, прилегающего к меньшему основанию трапеции, к площади четырёхугольника, прилегающего к большему основанию, равно 3:5.