Question

Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 4 см і 9 см. у конус вписано кулю. знайдіть радіус кулі.

Answer 1

Відповідь:

Щоб знайти радіус кулі, вписаної в зрізаний конус, можна виконати наступні дії: Знайдіть похилу висоту зрізаного конуса. Ми можемо скористатися теоремою Піфагора, щоб знайти це значення: Нехай h — висота зрізаного конуса Нехай R1 і R2 радіуси більшої і меншої основи відповідно Висоту нахилу s можна знайти за допомогою s^2 = h^2 + (R1 - R2)^2 Підставляючи значення, ми отримуємо s^2 = h^2 + (9 - 4)^2 = h^2 + 25 Знайдіть радіус кулі через h і s. Сфера вписана в конус, тобто в деякій точці дотикається до конуса. Ця точка дотику лежить на прямій, яка сполучає центр кулі з вершиною конуса. Оскільки пряма проходить через центр кулі, то вона перпендикулярна до площини основи конуса. Щоб знайти відстань від центру кулі до вершини конуса, можна скористатися теоремою Піфагора: Нехай r — радіус сфери Нехай d — відстань від центра кулі до вершини конуса Маємо d^2 = s^2 - r^2 Прирівняйте значення d і h. Оскільки куля вписана в конус, то центр кулі лежить на осі конуса. Це означає, що відстань від центра кулі до вершини конуса дорівнює висоті зрізаного конуса: Прирівнявши d і h, ми отримаємо s^2 - r^2 = h^2 Розв’язати r. Ми можемо використати рівняння з кроку 3, щоб розв’язати r через h і s: r^2 = s^2 - h^2 Підставляючи значення з кроку 1, ми отримуємо r^2 = (h^2 + 25) - h^2 = 25 Виймаючи квадратний корінь з обох сторін, отримуємо r = 5 см Отже, радіус кулі, вписаної в зрізаний конус, дорівнює 5 см.

Пояснення:

Answer 2

Для знаходження радіуса кулі, вписаної у зрізаний конус, ми можемо скористатися подібністю фігур.

Зрізаний конус можна розглядати як сходинки конуса інколи. Подивімося на нижній конус з радіусом 9 см і висотою h. Також, уявімо, що вписана куля вписана в цей нижній конус.

Розглянемо подібні трикутники між нижнім конусом і вписаним в нього кругом та подібним верхнім конусом та його основою. Позначимо радіус кулі як "R" і відстань від вершини конуса до центру кулі як "h₁."

З подібних трикутників ми можемо записати наступну пропорцію:

(R / (R + h₁)) = (4 / 9)

Тепер ми можемо вирішити цю пропорцію для h₁:

(R / (R + h₁)) = (4 / 9)

(9R) = 4(R + h₁)

9R = 4R + 4h₁

5R = 4h₁

h₁ = (5/4)R

Тепер ми можемо виразити h у функції R і h₁:

h = 9 - h₁

h = 9 - (5/4)R

Тепер ми можемо використовувати теорему Піфагора для обчислення R:

R² = (h₁ + R)² + 4²

Підставимо значення h₁:

R² = ((5/4)R + R)² + 4²

R² = ((9/4)R)² + 16

R² = (81/16)R² + 16

Тепер вирішимо це рівняння для R:

(16/16)R² = (81/16)R² + 16

16R² = 81R² + 16 * 16

0 = 81R² - 16R² - 16 * 16

0 = 65R² - 16 * 16

65R² = 16 * 16

R² = (16 * 16) / 65

R² = 256 / 65

R = √(256 / 65)

R ≈ 4.80 см

Отже, радіус вписаної кулі приблизно дорівнює 4.80 см.