Question

У трикутнику ABC відомо, що ∠ С=90°, ∠B=30°. На катеті ВС позначели точку D так, що ∠ADC=60°. Знайдіть катет ВС, якщо CD=5 см

Answer 1

Відповідь:

Розглянемо трикутник ADC. Оскільки ∠ADC=60°, то трикутник ADC є рівностороннім, тобто AD=CD=5 см. Позначимо точку E на катеті АВ так, що DE ⊥ АВ. Оскільки трикутник ABC є прямокутним і ∠B=30°, то ∠CAB=60° і трикутник АЕD також є рівностороннім. Отже, AE=ED=AD=5 см.

Позначимо ВD=x. Тоді BC=BD+DC=x+5 см. Оскільки ∠B=30°, то ми можемо використовувати теорему синусів для трикутника ABC:

sin 30°/BC = sin 90°/AB

sin 30°/(x+5) = 1/AB

AB = (x+5)/sin 30° = 2(x+5) см.

Також ми можемо використовувати теорему Піфагора для трикутника ABD:

AB² = AD² + BD²

(2(x+5))² = 5² + x²

4(x+5)² = 25 + x²

4x² + 80x + 400 = 25 + x²

3x² - 80x + 375 = 0

(x-15)(3x-25) = 0

Оскільки x = BD > 0, то ми отримуємо x = BD = 15 см.

Висновок: катет ВС дорівнює BC = BD + DC = 15 + 5 = 20 см.

Пояснення:

Answer 2

Давайте розглянемо задачу:

У нас є прямокутний трикутник ABC з прямим кутом при C (значить, ∠C = 90°) і кутом B рівним 30° (тобто ∠B = 30°).

Ми також маємо точку D на катеті ВС так, що ∠ADC = 60°, і відомо, що CD = 5 см.

Ми можемо використовувати факт, що сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180°. Також, оскільки ABC - прямокутний трикутник, ми можемо використовувати теорему Піфагора.

З формули суми кутів у трикутнику ми можемо знайти кут A:

∠A = 180° - ∠C - ∠B ∠A = 180° - 90° - 30° ∠A = 60°

Тепер, ми знаємо всі три кути у трикутнику ABC: ∠A = 60°, ∠B = 30° і ∠C = 90°.

З теореми Піфагора, ми можемо знайти катет ВС (BC):

BC^2 = AB^2 + AC^2

Ми знаємо, що AB = CD = 5 см (оскільки трикутник ADC - рівносторонній з ∠ADC = 60°), і ми можемо знайти AC за допомогою тригонометричних функцій:

AC = AB * tan(∠B) AC = 5 см * tan(30°)

Тепер, підставимо значення AB і AC у формулу Піфагора:

BC^2 = (5 см)^2 + (5 см * tan(30°))^2

BC^2 = 25 см^2 + (5 см * 1/√3)^2

BC^2 = 25 см^2 + (25 см^2 / 3)

BC^2 = (25 см^2 * 3 / 3) + (25 см^2 / 3)

BC^2 = (75 см^2 / 3) + (25 см^2 / 3)

BC^2 = 100 см^2 / 3

Тепер витягнемо корінь з обох боків для знаходження BC:

BC = √(100 см^2 / 3)

BC = (10 см / √3) см

Отже, довжина катета ВС дорівнює (10 см / √3) см.