Question

‼️ТЕРМІНОВО ‼️ ДАЮ 50 БАЛІВ‼️ Пряма в точці А дотикається до кола із центром О. На дотичній по різні боки від точки А відкладено рівні відрізки АМ і АN. Доведіть, що ОМ=ON.

Answer 1

Ответ:

Для доказательства, что OM = ON, мы можем использовать свойства касательных и равенство длин отрезков.

По свойству касательной, линия, проходящая через точку касания и центр окружности, перпендикулярна касательной. Это означает, что линия ОА является перпендикуляром к АМ и АN.

Также из условия задачи известно, что отрезки АМ и АN равны.

Теперь рассмотрим треугольники ОАМ и ОАN. У них общая гипотенуза ОА и равные катеты АМ и АN.

По теореме о равенстве гипотенуз и катетов прямоугольного треугольника, получаем, что треугольники ОАМ и ОАN равнобедренные.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, является медианой, биссектрисой и высотой одновременно. Поэтому линии ОМ и ОN являются медианами в треугольниках ОАМ и ОАN соответственно.

Медианы в треугольнике делятся пополам относительно вершины и основания. Таким образом, мы получаем, что ОМ = ОN.

Таким образом, мы доказали, что ОМ = ОN на основе свойств касательной, равенства отрезков АМ и АN и свойств равнобедренных треугольников

Answer 2

Для доведення, що OM = ON, давайте розглянемо геометричну ситуацію і використаємо основні властивості дотичних до кола та кутів між дотичними і радіусами кола.

Позначимо точку дотику прямої АО з колом як точку М (М може бути однією з точок дотику), а центр кола - О. Також, відкладемо відрізок АМ і АN, де M і N - точки на прямій.

1. ОМ - радіус кола, оскільки OM є променем, який виходить з центру О до точки М.

2. Розглянемо трикутник ОАМ. Знаючи, що OA - радіус кола, і трикутник ОАМ правильний, ми можемо сказати, що кут ОАМ дорівнює 90 градусів, оскільки прямокутний трикутник має прямий кут при основі (в даному випадку, відрізку ОА).

3. Розглянемо трикутник АМN. Оскільки відрізки AM і AN є рівними, а кут ОАМ дорівнює 90 градусів, то за основним властивостям прямокутних трикутників кути ОАМ та ОАN є прямими кутами. Тобто, OA перпендикулярна до AM і AN.

4. Оскільки OA є спільним відрізком для обох прямих ОАМ і ОАN і вони обидві перпендикулярні до OA, то вони збігаються в одній і тій же точці O.

5. Таким чином, OM і ON - це два рівні радіуси кола, які виходять з одного і того ж центру O, тому OM = ON.

Отже, ми довели, що OM = ON.