Question

Точка дотику кола, вписаного у прямокут- ну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть площу трапеції.​

Answer 1

Имеем трапецию АВСД.
Проведём высоту КЕ трапеции через центр О вписанной окружности.
По свойству сторон трапеции как касательных к вписанной окружности СК = 1 см, ЕД = 4 см.
Проекция СД на АД равна 4 - 1 = 3 см.
Тогда высота Н трапеции равна:
Н = √((1+4)² - 3²) = √25 - 9) = √16 = 4 см.
Радиус равен Н/2 = 4/2 = 2 см.
ВС = 2+1 = 3 см,
АД = 2+4 = 6 см.
Площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию.
S = HLср = 4*((3+6)/2) = 4*4,5 = 18 см².

Answer 2

Для знаходження площі трапеції спершу розглянемо наступну схему:

markdownCopy code
  A _________ B
   |         |
   |    O    |
   |_________|
  D           C

У цій схемі:

• A і B - точки, де коло дотикається більшої бічної сторони трапеції.
• C і D - вершини меншої і більшої основ трапеції відповідно.
• O - центр кола.

Ми знаємо, що A і B ділять більшу бічну сторону на відрізки 1 см і 4 см. Таким чином, AB = 1 см і BO = 4 см.

Далі, ми можемо розділити трапецію на два прямокутники:

1. Прямокутник ABCO.
2. Прямокутник ADOB.

Ми знаємо, що ширина обох прямокутників дорівнює 4 см (BO). Щоб знайти довжини цих прямокутників, давайте розглянемо прямокутник ABCO:

• Довжина прямокутника ABCO дорівнює сумі довжини OA і BC.
• OA - радіус кола, а радіус кола дорівнює 1 см (так як AB = 1 см).
• BC - довжина меншої основи трапеції, яку ми поки що не знаємо.

Зараз давайте знайдемо довжину BC, використовуючи те, що коло дотикається більшої бічної сторони трапеції. Половина довжини більшої бічної сторони трапеції дорівнює BO, тобто 4 см. Таким чином, BC = 2 * 4 см = 8 см.

Тепер ми можемо знайти довжину прямокутника ABCO:

OA = 1 см BC = 8 см

Довжина прямокутника ABCO = OA + BC = 1 см + 8 см = 9 см.

Отже, площа прямокутника ABCO дорівнює:

Площа ABCO = (довжина) * (ширина) = 9 см * 4 см = 36 квадратних сантиметрів.

Так як ми маємо два таких прямокутника (ABCO і ADOB), площа всієї трапеції дорівнює:

Площа трапеції = 2 * Площа ABCO = 2 * 36 квадратних сантиметрів = 72 квадратних сантиметри.

Отже, площа трапеції дорівнює 72 квадратним сантиметрам.