Question

При паралельному перенесенні точка А(5 ; -2) переходить у точку А1(4 ; 0) . Запишіть рівняння образу кола х2 – 2х + у2 + 4у = 0 при такому паралельному перенесенні та побудуйте його. зробіть терміново,даю 60 балів

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

    А(5 ; -2) -----> A₁(4 ; 0) . Формули парал. перенесення : { x₁ = x + a ;

                                                                                                   { y₁ = y + b .

    Маємо :   { 4 = 5 + a ;         ⇒   { a = - 1 ;

                     { 0 = - 2 + b ;             { b = 2 .  Отже , формули даного

    парал. перенесення    { x₁ = x - 1 ;

                                            { y₁ = y + 2.

     Запишемо дане коло у канонічному вигляді :

        х² – 2х + у² + 4у = 0 ;

      ( x²- 2x + 1² ) - 1² + ( у² + 4у + 2² ) - 2² = 0 ;

      ( x - 1 )² + ( y + 2 )² = 5 ; - це коло із центром у т. М( 1 ; - 2 ) і

                                              радіусом R = √5 .

   при парал. перенесенні переміщається центр кола , а радіус

   нового кола той самий  R₁ = R = √5 .

    Центр кола  М( 1 ; - 2 )  ----->  M₁( x₁ ; y₁ ) :  { x₁ = 1 - 1 ;        ⇒   { x₁ = 0 ;

                                                                          { y₁ = - 2 + 2 ;          { y₁ = 0 ;

    тобто центр кола образу попав у початок координат О( 0 ; 0 ) .

  Побудова . Будуємо коло із центром у т. М(1 ;- 2 ) і радіусом R = √5 ,

       а потім будуємо коло із центром у т. О( 0 ; 0 ) і радіусом R₁ = √5 .    

     

Answer 2

Для того чтобы найти рівняння образу кола при паралельному перенесенні, ми можемо скористатися наступними властивостями:

1. Якщо точка (x, y) належить колу з центром у точці (a, b) і радіусом r, то вона задовольняє рівнянню: (x - a)² + (y - b)² = r²

2. При паралельному перенесенні точки на вектор (dx, dy), координати цієї точки змінюються наступним чином: (x + dx, y + dy)

Зараз нам потрібно знайти нові координати центра кола та новий радіус після паралельного перенесення.

Початкове коло має рівняння: x² - 2x + y² + 4y = 0

Для того, щоб знайти центр та радіус цього кола, спростимо рівняння, розділимо кожний член на 2 (щоб коефіцієнти були цілими числами): (x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 1 + 4

Тепер ми можемо записати це рівняння в такому вигляді: (x - 1)² + (y + 2)² = 5

З цього рівняння бачимо, що центр початкового кола знаходиться в точці (1, -2), а його радіус дорівнює √5.

Тепер ми маємо знайти новий центр та радіус кола після паралельного перенесення точки А(5, -2) у точку А₁(4, 0).

Центр нового кола буде знаходитися в точці, яка є результатом паралельного перенесення точки (1, -2) на вектор (-1, 2): Новий центр: (1 - 1, -2 + 2) = (0, 0)

Радіус нового кола буде такий самий, як і у початкового кола, тобто √5.

Отже, рівняння образу кола після паралельного перенесення буде: (x - 0)² + (y - 0)² = (√5)² x² + y² = 5

Це рівняння є рівнянням образу кола після паралельного перенесення точки А(5, -2) у точку А₁(4, 0). Тепер ми можемо побудувати це коло на координатній площині з центром в точці (0, 0) та радіусом √5.