Question

Знайдіть відношення об’ємів кулі та рівностороннього конуса, висота якого дорівнює радіусу кулі. срочнооооо

Answer 1

Ответ:

12

Объяснение:

Объем шара радиуса R вычисляется по формуле:

$V_1=\dfrac{4}{3}\pi R^3$

Объем конуса:

$V_2=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$

По условию h = R        (1)

Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник со стороной, равной 2r.

По формуле высоты равностороннего треугольника:

$h=\dfrac{2r\sqrt{3}}{2}=r\sqrt{3}$

$r=\dfrac{h}{\sqrt{3}}=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$            (2)

Подставим (1) и (2) в формулу объема конуса:

$V_2=\dfrac{1}{3}\pi\cdot \left(\dfrac{R}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot R=\dfrac{\pi R^3}{9}$

Отношение объемов шара и конуса:

$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{4}{3}\pi R^3 : \dfrac{\pi R^3}{9}=\dfrac{4}{3}\pi R^3\cdot \dfrac{9}{\pi R^3}=12$

Answer 2

Для знаходження відношення об'ємів кулі та рівностороннього конуса з висотою, яка дорівнює радіусу кулі, спершу розглянемо формули для об'ємів обох геометричних фігур.

Об'єм кулі обчислюється за формулою: $V_{кулі} = \frac{4}{3}\pi r^3,$ де $r$ - радіус кулі.

Об'єм рівностороннього конуса обчислюється за формулою: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$ де $r$ - радіус основи конуса, $h$ - висота конуса.

За умовою задачі висота конуса дорівнює радіусу кулі, тобто $h = r$. Підставимо це значення у формулу об'єму конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 r = \frac{1}{3} \pi r^3.$

Тепер ми маємо об'єми обох геометричних фігур, і можемо знайти їхнє відношення: $\frac{V_{кулі}}{V_{конуса}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{1}{3} \pi r^3}.$

Зараз спростимо це вираз: $\frac{V_{кулі}}{V_{конуса}} = \frac{4}{1} = 4.$

Отже, відношення об'єму кулі до об'єму рівностороннього конуса з висотою, що дорівнює радіусу кулі, дорівнює 4.