Question

Доведіть, що коли дві протилежні вершини чотирикутника та точка перетину діагоналей належать площині α, то сам чотирикутник може НЕ належати площині α. (рос. Докажите, что если две противоположные вершины четырехугольника и точка пересечения диагоналей принадлежат плоскости α, то сам четырехугольник может НЕ принадлежать плоскости α)

Answer 1

Докажите, что если две противоположные вершины четырехугольника и точка пересечения диагоналей принадлежат плоскости α, то сам четырехугольник может НЕ принадлежать плоскости α.

РЕШЕНИЕ.

Точка пересечения диагоналей О∈АС, прямой содержащей

противоположные вершины.Т.е. все эти точки лежат на одной прямой.

Для ОДНОЗНАЧНОГО определения плоскости достаточно задать точку ( например В) , согласно следствие 1 из аксиомы 1

1 случай .Если В принадлежит плоскости четырехугольника АВСD, то и четырехугольник АВСD принадлежит плоскости α.

2 случай Если В не принадлежит плоскости четырехугольника АВСD, то и четырехугольник АВСD не принадлежит плоскости α.

================================

Следствие 1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо два випадки: коли чотирикутник є опуклим і коли він є непрямокутним (неквадратним) і відсутні обмеження на його форму.

1. Опуклий чотирикутник: Розглянемо опуклий чотирикутник ABCD, де точка перетину діагоналей P лежить в площині α, і вершини A і C є протилежними. Ми знаємо, що діагоналі чотирикутника перетинаються в точці P. Розглянемо площину α, яка проходить через точки P, A і C. Ця площина містить P, A і C, і тому згідно з умовою також містить P і інші дві протилежні вершини B і D. Отже, чотирикутник ABCD повністю лежить в площині α.

2. Непрямокутний (неквадратний) чотирикутник: Розглянемо чотирикутник, який не є опуклим і не має обмежень на свою форму. Для прикладу, розглянемо зігнутий чотирикутник ABCD, де P - точка перетину діагоналей, і вершини A і C є протилежними. Ми можемо обрати таку форму чотирикутника, щоб одна з його діагоналей, наприклад, BD, перетинала площину α в поза точкою P. Це можливо, оскільки нам не задано обмежень на форму чотирикутника. Тепер чотирикутник ABCD має дві протилежні вершини A і C, які лежать в площині α, і одну діагональ BD, яка не лежить в площині α. Отже, чотирикутник ABCD не лежить в площині α.

Отже, ми показали, що існують випадки, коли чотирикутник не лежить в площині α, навіть якщо дві протилежні вершини та точка перетину діагоналей належать цій площині.