Question

Доведіть тотожність: а) tg α· cos α + sin α = 2sin α; б) (1 – cos α)(1 + cos α) = sin2 α;

Answer 1

Давайте розв'яжемо обидві тотожності:

а) tg α· cos α + sin α = 2sin α

Спочатку розглянемо ліву сторону:

tg α· cos α + sin α

Використовуючи властивості тригонометричних функцій, ми можемо переписати tg α як sin α / cos α:

(sin α / cos α)· cos α + sin α

Зараз спростимо це вираз:

(sin α) + sin α

Тепер додамо два sin α:

2sin α

Тож ліва сторона рівності дорівнює 2sin α, що і є правою стороною.

б) (1 – cos α)(1 + cos α) = sin² α

Спростимо ліву сторону:

(1 – cos α)(1 + cos α)

Використовуючи формулу різниці квадратів (a² - b² = (a + b)(a - b)), отримаємо:

(1 - cos² α)

Тепер врахуємо тригонометричну тотожність sin² α = 1 - cos² α:

1 - cos² α = sin² α

Таким чином, ліва сторона дорівнює sin² α, що і є правою стороною.

Обидві тотожності підтверджені.