Question

Діагональ паралелограма ділить його кут на частини 30º i 90°. Знайдіть сторони паралелограма, знаючи, що його периметр P = 48 см.​

Answer 1

Відповідь:

8см, 16 см, 8 см, 16 см.

Пояснення:

В паралелограмі АВCD <АВD=90°, <CBD=30° за умовою. Тоді діагональ ВD перпендикулярна до сторони АВ. Оскільки CD||AB, то ВD⊥CD.

Розглянемо прямокутний трикутник ВDC. Навпроти <СВD=30° лежить катет у два рази менше гіпотенузи.

Якщо Р=48 (см) , тоді

півпереметр p=24 (см) , то СD+ВС=24 (см).

Нехай катет СD=х ( см), гіпотенуза ВС=2х (см)

Складемо рівняння:

х+2х=24,

х=8 (см) -СD, АВ=CD=8(см)

2×8=16 (см)- ВС, AD=BC=16(см)

Answer 2

Давайте назвемо паралелограм ABCD, де AB і CD - паралельні сторони, а AD і BC - діагоналі. Діагональ ділить один з кутів паралелограма на дві частини: 30º і 90º.

Зараз нам потрібно визначити співвідношення між сторонами і діагоналями паралелограма. Використовуючи ці відомості, ми можемо побудувати систему рівнянь для знаходження сторін.

З питомого кута 30º можемо визначити, що відношення довжини однієї діагоналі до іншої дорівнює тангенсу 30º, що дорівнює 1/√3.

Тобто, якщо AD - це довша діагональ, то ми можемо написати:

AD/BC = 1/√3.

Також, ми знаємо, що периметр паралелограма дорівнює 48 см:

P = 2(AD + BC) = 48.

Тепер ми можемо виразити BC з першого рівняння:

BC = √3 * AD.

Підставляючи це в друге рівняння:

2(AD + √3 * AD) = 48.

Зведемо підінтегральні вирази:

2(1 + √3) * AD = 48.

Розкриваємо дужки:

2 + 2√3 * AD = 48.

Віднімаємо 2 від обох сторін:

2√3 * AD = 46.

Поділимо обидві сторони на 2√3:

AD = 46 / (2√3) = 23 / √3 = (23√3) / 3 см.

Тепер, ми можемо знайти BC, використовуючи вираз BC = √3 * AD:

BC = √3 * (23√3) / 3 = (23 * 3) / 3 = 23 см.

Таким чином, довжина діагоналі AD дорівнює (23√3) / 3 см, а довжина діагоналі BC дорівнює 23 см.