Question

6. Доведіть, що відношення квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює відношенню їх проекцій на гіпотенузу.​

Answer 1

Ответ:

Доказано:      $\displaystyle \bf \frac{AB^2}{BC^2}=\frac{AH}{HC}$

Объяснение:

6. Докажите, что отношение квадратов катетов прямоугольного треугольника равно отношению их проекций на гипотенузу.​

Дано: ΔАВС - прямоугольный.

АВ и ВС - катеты; АН и НС - проекции катетов на гипотенузу.

Доказать: $\displaystyle \bf \frac{AB^2}{BC^2}=\frac{AH}{HC}$

Доказательство:

• Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:
• Квадрат катета равен произведению проекции этого катета на гипотенузу и самой гипотенузы.

Пусть АВ = с; ВС = а; АС = b;

$\displaystyle \bf c_b$ - проекция катета АВ на АС; $\displaystyle \bf a_b$ - проекция катета ВC на АС.

⇒ c² = $\displaystyle c_b\cdot b$;     a² = $\displaystyle a_b\cdot b$;  

Найдем отношение квадратов катетов:

$\displaystyle \frac{c^2}{a^2}=\frac{c_b\cdot b}{a_b\cdot b} \\\\\frac{c^2}{a^2}=\frac{c_b}{a_b}$

или   $></p> <p>Что и требовалось доказать.</p> <p></p> </div> <div style=$

Answer 2

Відповідь:

Пояснення:  

У прямок.  ΔАВС   ∠С = 90° . СD⊥AB . AC  i  BC - катети , а  АВ -

гіпотенуза . BD i  AD - проєкції на гіпотенузу відповідно катетів

ВС  і  АС . За відомими формулами співвідношення між елементами

прямок. тр - ника  BC² = BD * AB ;   AC²= AD * AB  маємо :

  BС²/AC² = BD * AB/( AD * AB ) = BD/AD .   Доведено .

Answer 3

Для доведення даної твердження розглянемо прямокутний трикутник ABC зі сторонами AB, BC і AC, де AB і BC - катети, а AC - гіпотенуза.

Позначимо довжини сторін так: AB = a (довжина першого катету) BC = b (довжина другого катету) AC = c (довжина гіпотенузи)

Тепер розглянемо проекції катетів AB і BC на гіпотенузу AC. Позначимо ці проекції як AD і BD відповідно.

За визначенням, проекція катету на гіпотенузу дорівнює довжині відрізка, який проведений перпендикулярно до гіпотенузи з катету. Тобто:

AD - проекція катету AB на гіпотенузу AC BD - проекція катету BC на гіпотенузу AC

Тепер ми можемо використовувати подібність прямокутних трикутників для знаходження співвідношення між квадратами катетів і квадратом гіпотенузи. Ось як це робиться:

З подібності трикутників ADB і ABC маємо: (AD / AB) = (BD / BC)

За визначенням проекції: AD = a₁ (проекція катету AB) BD = b₁ (проекція катету BC)

Замінюючи ці значення у виразі для подібності, отримуємо: (a₁ / a) = (b₁ / b)

Тепер піднесемо обидві сторони рівності до квадрата: [(a₁ / a)]^2 = [(b₁ / b)]^2

Але згідно з теоремою Піфагора для прямокутних трикутників маємо: a₁^2 + b₁^2 = c^2

Підставимо це значення у попередню рівність: [(a₁ / a)]^2 = [(b₁ / b)]^2 = (c^2 / a^2)

Тепер ми маємо доведено, що відношення квадратів катетів дорівнює відношенню їх проекцій на гіпотенузу: (a₁ / a)^2 = (b₁ / b)^2 = (c^2 / a^2)

Отже, ми довели твердження.