Question

Полусфера с радиусом R вписана в конус наименьшего объема. найдите высоту конуса​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Розглянемо осьовий переріз  SAB конуса і півсфери ( т. S - вершина

конуса ) . АВ - діаметр основи конуса , а EF - діаметр півсфери .

Точка  О - центр основи конуса і півсфери .

   Очевидно ΔSOB - прямокутний ; проведемо OD⊥SB ;  OD =  R .

Нехай SO = x , тоді  SD = √( x² - R² ) . За властивістю висоти  прямок.

тр - ника   SO = SD * SB .  Звідси  SB = L = x²/√( x² - R² ) ;

r ² = OB² = L² - x² = x²R²/( x² - R² ) .  Тепер вже об'єм конуса

V( x ) = 1/3 π r ²x = πR²/3 * x²/( x² - R² ) , де  хЄ [ R ; + ∞ ) ;  об'єм  V( x )

залежить від висоти  х конуса . Дослідивши  V( x ) на екстремум ,

одержимо  max V( x ) = V( R√3 ) = √3/2 * πR³ .

                   [R; + ∞)

 Очевидно , висота конуса х  = SO = R√3 .

                     

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом подобия геометрических фигур. Мы знаем, что полусфера вписана в конус наименьшего объема, следовательно, полусфера касается боковой поверхности конуса. Это означает, что радиус полусферы равен радиусу основания конуса.

Давайте обозначим радиус полусферы как R и радиус основания конуса как r. Также обозначим высоту конуса как h.

Теперь у нас есть два треугольника: один внутри полусферы и один внутри конуса. Эти треугольники подобны друг другу, так как у них соответствующие углы равны (по теореме о подобных треугольниках).

Теперь мы можем записать соотношение подобия:

R / (R - h) = r / h

Мы знаем, что R = r, так как полусфера вписана в конус, поэтому:

r / (r - h) = r / h

Теперь мы можем решить это уравнение относительно h:

r * h = r * (r - h)

Раскроем скобки:

r * h = r^2 - r * h

Прибавим r * h к обеим сторонам:

2 * r * h = r^2

Теперь разделим обе стороны на 2 * r:

h = r^2 / (2 * r)

h = r / 2

Итак, высота конуса равна половине его радиуса:

h = r / 2

Поскольку в задаче указано, что полусфера имеет радиус R, то радиус основания конуса также равен R. Следовательно, высота конуса равна половине радиуса основания:

h = R / 2

Таким образом, высота конуса равна R / 2.