Question

В окружность радиуса 10см вписан треугольник один угол которого равен 60 а другой 15.Найдите площадь треугольника

Answer 1

по расширенной тееореме синусов

a\sin A=b\sin B=c\sin C=2*R

a=2*R*sin A

A=60 градусов

а=2*10*sin 60=10*корень(3)

Сумма углов треугольника равна 180 градусов

третий угол равен C=180-60-15=105

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

S=1\2*a*b*sin C=1\2a*2R*sin B*sin C=a*R*sin B*sin C

S=10*корень(3)*10*sin 15*sin 105=

=50*корень(3)*sin 30=25*корень(3)

(воспользовались тригонометричискими формулами приведения и двойного угла

sin(90+a)=cos a

2*sin a* cos a=sin (2*a)

sin 105=sin (90+15)=cos 15

2sin 15*cos15=sin 30)

Ответ:25*корень(3)

Answer 2

теорема синусов:а/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R отсюда,

a=sin60°×2R,b=sin15°×2R,c=sin(180-(60+15))°×2R

Sтреуг=a×b×c/4R,где R-радиус круга.

20×sin60×20×sin15×20×sin105/40

sin15×sin105=½[cos(105-15)-cos(105+15)]=¼

Sтреуг=100×√3/4=25√3

ответ=25√3 

Answer 3

Чтобы найти площадь треугольника, вписанного в окружность радиуса 10 см с углами 60° и 15°, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, основанной на полусумме произведений сторон на синусы соответствующих углов. Давайте разберемся подробнее.

Данный треугольник имеет вписанный угол 60° и центральный угол в два раза больше, т.е. 120°. Также, угол в центре окружности, противолежащий стороне треугольника с длиной 10 см (радиус окружности), также равен 120°.

Теперь можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника. Один из углов будет 60°, а гипотенуза будет равна радиусу окружности (10 см). Таким образом, одна из катетов будет $10 \times \sin(60°)$, а второй угол будет 30°.

Также у нас есть прямоугольный треугольник с углом 15°, противолежащим катету длиной $10 \times \sin(60°)$, и гипотенузой длиной 10 см.

Теперь можем найти длины всех сторон треугольников и затем найти их площади.

1. Первый прямоугольный треугольник:

   • Катет $a = 10 \times \sin(60°)$
   • Катет $b = 10 \times \cos(60°)$
   • Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2}ab$

2. Второй прямоугольный треугольник:

   • Катет $c = 10 \times \sin(15°)$
   • Катет $d = 10 \times \cos(15°)$
   • Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2}cd$

Итак, найдем эти значения и затем найдем общую площадь треугольника:

$S = S_1 + S_2$

$S = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}cd$