Question

окружность радиуса 1 см, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его средней линии. найти площадь треугольника.

Answer 1

Расстояние между параллельными прямыми равно диаметру окружности, которая их обеих касается. Поэтому расстояние от основания до средней линии равно 2, а высота треугольника, соответственно, равна H = 4. 

Если из центра вписаной окружности опустить перпендикуляр на боковую сторону, то получится прямоугольный треугольник с катетом r = 1 и гипотенузой H - r = 4 - 1 = 3 (ясно, что центр лежит на высоте к основанию на расстоянии r = 1 от основания). Таким образом, если обозначить Ф угол при основании треугольника, то 

cos(Ф) = 1/3. (угол между боковой стороной и высотой к основанию равен 90 - Ф)

Легко найти sin(Ф) = корень(1 - 1/9) = 2*корень(2)/3, 

сtg(Ф) = 1/(2*корень(2)) = корень(2)/4; 

Половина основания равна b/2 = H*ctg(Ф) = корень(2); 

Площадь треугольника H*b/2 = 4*корень(2);

Answer 2

Для нахождения площади равнобедренного треугольника, в котором вписана окружность радиусом 1 см и которая касается его средней линии, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается сторон треугольника в точке касания радиусом, перпендикулярным к этой стороне.

2. Средняя линия равнобедренного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты, равные половине основания равнобедренного треугольника, и гипотенузу, равную средней линии.

Так как радиус окружности равен 1 см, то он же является высотой равнобедренного треугольника, проведенной из вершины до основания. Также, так как средняя линия делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, то каждый из этих треугольников имеет высоту, равную 1 см.

Следовательно, у нас есть два прямоугольных треугольника с одинаковой высотой (1 см) и одинаковыми катетами (половина основания равнобедренного треугольника). Площадь каждого такого треугольника равна (1/2) * (основание) * (высота).

Таким образом, общая площадь равнобедренного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников:

Площадь = 2 * [(1/2) * (основание) * (высота)]

Теперь нам нужно найти основание треугольника. Поскольку окружность касается средней линии, которая является средней линией треугольника, то основание равнобедренного треугольника равно 2 * радиус окружности, то есть 2 см.

Подставляем значения в формулу:

Площадь = 2 * [(1/2) * (2 см) * (1 см)] = 2 * (1 см^2) = 2 см^2

Итак, площадь равнобедренного треугольника равна 2 квадратным сантиметрам.