Question

В паралелелограмме ABCD проаедены бисектрисы углов A и D разбившие сторону BC на три равных отрезка BF  FE . Найти периметр параллелограмма , есл сторона BC равна 24 . 

Answer 1

Так как в условии не указано, пересекаются ли биссектрисы, у задачи два варианта решения и, соответственно, есть два варианта ответов.

Вариант 1)

Биссектрисы не пересекаются. По условию ВF=FE=EC 

Угол ВFA=углу FАD - накрестлежащие. 

Угол FАD=FАВ по условию. ⇒

Углы при основании АF треугольника АВF равны, 

∆ АВF равнобедренный, АВ=ВF. Аналогично доказывается СD=CE. 

Примем 1/3 ВС=а

Тогда АВ=CD=a, BC=AD=3a

ВС=24 см ⇒

3a=24 см

a=8 см ⇒ 

AB=CD=8см

BC=AD=24 см

Р=2•(8+24)=64 см

Вариант 2)
Биссектрисы пересекаются.  По условию ВF=FE=EC

Как в первом варианте, ∆ АВЕ и ∆ СDF равнобедренные, 

 АВ=ВЕ и CD=CF

Пусть 1/3 ВС=а

Тогда АВ=СD=2a, BC=AD=3a

P=AB+BC+CD+DA=10a

ВС=3а=24 см

а=8 см⇒

Р=10а=80 см

Answer 2

Обозначим длину отрезков следующим образом:

Пусть $BF = FE = x$, тогда $BC = 3x = 24$ (по условию).

Отсюда получаем, что $x = 8$.

Так как биссектрисы углов A и D делят сторону BC пополам, то $BE = EC = 12$.

Также, по свойствам параллелограмма, $AD = BC = 24$ и $AB = CD$.

Итак, периметр параллелограмма $ABCD$ равен:

$P = 2(AB + BC) = 2(24 + 24) = 96.$

Ответ: периметр параллелограмма равен 96.