Question

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка M равноудаленная от боковых сторон.Докажите что CM-высота треугольника ABC.

Answer 1

Ответ:

По теореме, обратной теореме о свойстве биссектрисы угла, если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Точка М равноудалена от сторон угла АСВ, значит она лежит на биссектрисе угла АСВ, т.е.

СМ - биссектриса ΔАВС.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины треугольника, является медианой и высотой.

СМ - высота.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что CM является высотой треугольника ABC, мы можем воспользоваться свойством равнобедренного треугольника.

Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, у него две равные стороны: AB и AC. Таким образом, угол BAC является углом между равными сторонами и, следовательно, он равен углу BCA, так как в равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, также равны.

Теперь давайте рассмотрим треугольник CMA. Мы знаем, что точка M находится на равном расстоянии от боковых сторон треугольника ABC, поэтому AM = BM. Также мы установили, что угол CAM равен углу CBA, так как они оба равны углу BAC из-за равнобедренности треугольника ABC.

Теперь у нас есть два треугольника: CMA и CBA, в которых соответственно AM = BM и CA = CB, и у них равны углы CAM и CBA. С учетом этих фактов, по признаку равных треугольников мы можем заключить, что треугольники CMA и CBA равны по стороне-угол-стороне (по свойству SSS).

Из равенства треугольников CMA и CBA следует, что угол CMA равен углу CBA. Однако мы уже установили, что угол CAM равен углу CBA. Таким образом, угол CAM равен углу CMA. Теперь рассмотрим треугольник ACM. У нас есть два угла: CAM и CMA, которые равны между собой. Это означает, что треугольник ACM является равнобедренным треугольником.

Так как треугольник ACM является равнобедренным, то высота, проведенная из вершины C (CM), будет также являться медианой и медианой равнобедренного треугольника. Поскольку медиана и высота совпадают в равнобедренном треугольнике, это означает, что CM является высотой треугольника ABC.

Таким образом, CM действительно является высотой треугольника ABC.