Question

Боковая сторона AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39, а основание BC равна 12. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Дано:
верхнее основание трапеции ВС = 12
левая боковая сторона АВ = 36
Правая боковая сторона СД = 39
ДМ - биссектириса и АМ = ВМ = 18
Найти: Sтрап
Решение:
Дополнительное построение: через точку М, середину стороны АВ проводим параллельно основаниям среднюю линию трапеции МК: СК = КД = 19,5
В ΔМКД  угол КМД = углу МДА (накрест лежащие при параллельных МК и АД и секущей МД). Но угол МДА = углу КДМ, т.к. МД - биссектриса.
Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5.
Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АД
МК = (СД + АД)/2
19,5 = (12 + АД)/2
АД = 27
Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД.
Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - х
Из ΔСНД выразим высоту СН=h
СН² = CД² - ДН²  или h² = 39² - х²
Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = h
ВЕ² = АВ² - АЕ² или Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5.
Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АД
МК = (СД + АД)/2
19,5 = (12 + АД)/2
АД = 27
Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД.
Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - х
Из ΔСНД выразим высоту СН = h
СН² = CД² - ДН²  или h² = 39² - х²
Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = h
ВЕ² = АВ² - АЕ²  или h² = 36² - (15 - х)²
Приравняем квадраты высот
39² - х² = 36² - (15 - х)²
1521 - х² = 1296 - 225 + 30х - х²
30х = 450
х = 15
Итак высота трапеции из выражения h² = 39² - х² равна
h = √(1521 - 225) = √1296 = 36
Площадь трапеции S = МК·h = 19.5 · 36 = 702

Answer 2

Для начала, давайте обозначим данные:

AB = 36 (боковая сторона трапеции) CD = 39 (боковая сторона трапеции) BC = 12 (основание трапеции)

Также нам известно, что биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Это означает, что точка, где биссектриса пересекает сторону AB, делит ее на две равные части, каждая длиной 36 / 2 = 18.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: ABD и ADC, где AD - это высота трапеции, проходящая через середину стороны AB, а DC - это основание трапеции.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину AD:

AD^2 = AB^2 - BD^2 AD^2 = 36^2 - 18^2 AD^2 = 1296 - 324 AD^2 = 972 AD = √972 AD = 18√3

Теперь у нас есть высота трапеции AD и ее основание DC. Мы можем найти площадь треугольника ADC, а затем вычесть ее из площади трапеции ABCD, чтобы получить площадь трапеции.

Площадь треугольника ADC равна (1/2) * AD * DC: Площадь ADC = (1/2) * (18√3) * 12 = 216√3

Теперь мы можем найти площадь трапеции ABCD, используя формулу для площади трапеции:

Площадь ABCD = (1/2) * (AB + CD) * AD Площадь ABCD = (1/2) * (36 + 39) * 18√3 Площадь ABCD = (1/2) * 75 * 18√3 Площадь ABCD = 675√3

Итак, площадь трапеции ABCD равна 675√3 квадратных единиц.