Question

в равнобедренной трапеции диагональ делит тупой угол пополам. Меньшее основание равно 3 см, периметр 42 см. Найти длину средней линии.

Answer 1

Диагональ --это секущая при параллельных основаниях трапеции,
накрест лежащие углы равны)))
диагональ отрежет от трапеции равнобедренный треугольник...
средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований)))

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

Пусть $ABCD$ - равнобедренная трапеция, где $AB$ и $CD$ - основания, а $AD$ и $BC$ - боковые стороны.

Также, пусть $AC$ - диагональ, и она делит тупой угол $\angle CAD$ пополам. Пусть $M$ - точка пересечения диагонали $AC$ и биссектрисы угла $\angle CAD$.

Мы знаем, что $AB = CD = 3$ см и периметр трапеции равен 42 см:

$AB + BC + CD + AD = 3 + BC + 3 + AD = 6 + BC + AD = 42$

Теперь мы знаем, что боковые стороны трапеции $AD$ и $BC$ в сумме равны $42 - 6 = 36$ см.

Так как диагональ $AC$ делит угол $\angle CAD$ пополам, то треугольник $AMD$ - это прямоугольный треугольник с углом $\angle MAD = \angle CAD / 2$.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину $AM$:

$AM^2 = AD^2 - MD^2$

Нам нужно найти $MD$, который равен половине длины боковой стороны $BC$ (так как биссектриса делит угол $\angle CAD$ пополам):

$MD = \frac{BC}{2}$

Таким образом,

$MD = \frac{36}{2} = 18$ см

Теперь мы можем найти длину $AD$ с помощью более крупного прямоугольного треугольника $ACD$:

$AD^2 = AM^2 + MD^2$

$AD^2 = AM^2 + 18^2$

Теперь нам нужно найти $AM^2$. Мы можем использовать тот факт, что $AB = CD = 3$ см и что $AC$ делит угол $\angle CAD$ пополам, чтобы найти $AM$:

$\tan(\angle CAD / 2) = \frac{AB}{AM}$

$\tan(\angle CAD / 2) = \frac{3}{AM}$

Теперь мы знаем, что $\angle CAD$ равен половине угла $\angle BCD$, а $\angle BCD$ - это угол равнобедренной трапеции, поэтому:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle CAD$

$\angle CAD / 2 = (180^\circ - \angle CAD) / 2$

$\angle CAD / 2 = 90^\circ - \angle CAD / 2$

Таким образом,

$\tan(\angle CAD / 2) = \tan(90^\circ - \angle CAD / 2)$

Используя тригонометрическую идентичность для тангенса разности углов, мы получаем:

$\tan(\angle CAD / 2) = \frac{1}{\tan(\angle CAD / 2)}$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $\tan(\angle CAD / 2)$:

$\tan(\angle CAD / 2)^2 = 1$

$\tan(\angle CAD / 2) = \pm 1$

Из условия задачи видно, что $\angle CAD / 2$ является острым углом (так как диагональ делит тупой угол пополам), поэтому $\tan(\angle CAD / 2)$ положительный. Таким образом,

$\tan(\angle CAD / 2) = 1$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $AM$:

$1 = \frac{3}{AM}$

$AM = 3$ см

Теперь мы можем найти $AD$:

$AD^2 = AM^2 + MD^2$