Question

Каждое боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 3, а плоский угол при ее вершине равен 90 градусов. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

SABC-правильная пирамида,AB=BC=AC=3,<ASB=<ASC=<BSC=90
SH-апофема,CH-высота основания,SO-высота пирамиды
SA=SB=SC=√(AB²/2)=AB/√2=3√2/2
SH=√(SA²-AB²/)=√(9/2-9/4)=√(9/4)=3/2
CH=ACsin60=3*√3/2=3√3/2
OH=1/3CH=1/3*3√3/2=√3/2
SO=√(SH²-OH²)=√(9/4-3/4)=√6/2
V=1/3*S(ABC)*SO=1/3*1/2*AB²sin60*SO
V=1/6*9*√3/2*√6/2=9√2/8

Answer 2

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды, нам понадобятся два параметра: площадь основания и высота пирамиды.

1. Площадь основания: Поскольку основание треугольное и равностороннее (все стороны равны), можно использовать формулу для площади равностороннего треугольника. Если каждое боковое ребро равно 3, то длина стороны основания равна 3.

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (a^2 * √3) / 4,

где "a" - длина стороны треугольника.

В нашем случае: Площадь основания = (3^2 * √3) / 4 = (9 * √3) / 4.

2. Высота пирамиды: Поскольку у нас есть прямой угол при вершине пирамиды, высоту можно рассмотреть как один из катетов прямоугольного треугольника, где гипотенуза равна половине длины бокового ребра, то есть 3/2. Таким образом, высоту можно вычислить с использованием теоремы Пифагора:

высота^2 + (1.5)^2 = 3^2, высота^2 + 2.25 = 9, высота^2 = 9 - 2.25, высота^2 = 6.75, высота = √6.75.

3. Теперь мы можем вычислить объем пирамиды с использованием формулы:

Объем = (Площадь основания * Высота) / 3.

Объем = ((9 * √3) / 4 * √6.75) / 3.

Объем ≈ (5.1962 * 2.5981) / 3.

Объем ≈ 13.51 / 3.

Объем ≈ 4.503 кубических единиц.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен приблизительно 4.503 кубических единиц.