Question

Сечение куба ABCDA1B1C1D1 проходит через вершину B и середины рёбер AA1 и CC1 площадь сечения равна 8 корней из 6.Найти ребро куба

Answer 1

Построим указанное сечение. Для этого обозначим точки пересечения  секущей  плоскости М с АА1 и К с СС1. Соединим М и К. Получим равнобедренный треугольник МВК. Проведём в нём высоту ВЕ. Точка Е находится на середине МК. ВЕ-это половина диагонали куба. Точка Е это центр куба. Продолжим отрезок диагонали куба ВЕ до пересечения его в точку Д1. Соединим точки М и К с Д1. Тогда площадь сечения будет равна площади фигуры МВКД1. Она состоит из двух треугольников площадь каждого из которых равна площади треугольника МВК. Диагональ АС=МК=а*( корень из 2). Где а-сторона куба. МВ= корень из(АВ квадрат+АМ квадрат)=корень из((а квадрат+(а квадрат)/4)=а *(корень из 5)/2. ВЕ=корень из(МВквадрат-МЕ квадрат)=корень из((а квадрат)*5/4-(а квадрат)*2/4)=(а корней из 3)/2.Площадь треугольника МВК   Sмвк=1/2*МК*ВЕ=1/2*(а корней из 2)*(а корней из 3)/2=((а квадрат *(корень из 6)/4. Отсюда площадь сечения МВКД1=2*Sмвк= ( а квадрат)*( корень из 6)/2. По условию эта же площадь равна 8 корней из 6, приравниваем и получаем ( 8 корней из 6 )=(а квадрат)*( корень из 6)/2. Отсюда ребро куба а=4.