Question

Докажите что если диагонали параллелограмма перпендикулярны то такой параллелограмм является ромбом

Answer 1

Тк ромб параллелограмм. то и его диагонали при пересечении делятся пополам.
образовавшиеся 4 прямоугольных тр-каравны по 2 катетам.
отсюда равны и все их гипотенузы - стороны параллелограмма.
поэтому он - РОМБ.

Answer 2

Для доказательства, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, мы можем воспользоваться свойствами параллелограммов и ромбов.

1. Пусть у нас есть параллелограмм ABCD с перпендикулярными диагоналями. Давайте обозначим точку их пересечения как O.

2. Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

3. Поскольку диагонали перпендикулярны, то угол между каждой диагональю и стороной параллелограмма будет равен 90 градусов.

4. Рассмотрим треугольники ABO и BCO. Они оба прямоугольные, так как каждый из них имеет прямой угол (из-за перпендикулярности диагоналей). Теперь, если у нас есть два прямоугольных треугольника с равными углами, то они подобны. Это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

5. Следовательно, мы можем сказать, что отношение длины стороны AB к стороне BO равно отношению длины стороны BC к стороне CO. Или другими словами:

AB / BO = BC / CO

6. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, AB = CD и BC = AD.

7. Теперь мы можем записать уравнение следующим образом:

CD / BO = AD / CO

8. Но мы также знаем, что диагонали параллелограмма равны и пересекаются в точке O, поэтому CO = BO.

9. Таким образом, уравнение становится:

CD / BO = AD / BO

10. После сокращения BO с обеих сторон у нас остается:

CD = AD

11. Это означает, что противоположные стороны параллелограмма равны друг другу.

12. Поскольку все четыре стороны параллелограмма равны (по свойству параллелограмма), мы приходим к выводу, что данный параллелограмм - это ромб.

Таким образом, если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.