Question

Помогите пожалуйста! Быстрая задача, лёгкая, а я не понимаю! М (2;3;1), В (-4;-3;-1). На оси OZ найдите такие точки А, что МА перпендикулярно ВА.

Answer 1

Найдём координаты точки С - середину отрезка ВМ:
С((2-4)/2=-1; (3-3)/2=0; (1-1)/2=0) = (-1; 0; 0).
Расстояние от точек В и М до С равно:
ВС= МС = √((-1-2)²+(0-3)²+(0-1)²) = √(9+9+1) = √19.

Если в эту систему координат поместить сферу с центром в точку С, то любая точка на сфере составляет с точками В и М прямой угол.

Уравнение сферы: (x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)² = R².
На оси OZ координаты по х и по у равны нулю.
Подставим нули в уравнение сферы с центром в точке С и радиусом √19: (0-(-1))²+(0-0)²+(z-0)² = 19.
1+z² = 19.
z² = 18.
z = +-√18 ≈ +-4,24264.
Ответ: координаты точек А и А1 на оси ОZ равны +4,24264 и -4,24264.

Answer 2

Для того чтобы найти точки A на оси OZ, такие что вектор MA перпендикулярен вектору VA, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. Вектор MA будет перпендикулярен вектору VA, если их скалярное произведение равно нулю.

2. Скалярное произведение векторов равно нулю, когда они перпендикулярны друг другу.

Давайте представим точку A как (0,0,z), где z - координата точки A по оси OZ.

Теперь мы можем найти векторы MA и VA:

Вектор MA: (0-2, 0-3, z-1) = (-2, -3, z-1) Вектор VA: (0-(-4), 0-(-3), z-(-1)) = (4, 3, z+1)

Скалярное произведение векторов MA и VA равно нулю:

(-2)(4) + (-3)(3) + (z-1)(z+1) = 0

-8 - 9 + (z^2 + z - z - 1) = 0

-17 + z^2 - 1 = 0

z^2 - 18 = 0

Теперь решим это уравнение для z:

z^2 = 18 z = ±√18

z = ±3√2

Итак, у нас два возможных значения для z: z = 3√2 и z = -3√2.

Таким образом, две точки A, такие что вектор MA перпендикулярен вектору VA, будут иметь координаты (0,0,3√2) и (0,0,-3√2) на оси OZ.