Question

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 20. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.

Answer 1

Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
обозначу площадь треугольника АВС - S1, а треугольника CMN - S2, а коэффициент подобия - к
итого S1/S2=к²
S1=S2*к²
к²=(СВ/СМ)² СВ=2СМ
к²=(2СМ/СМ)²=2²=4
S1=4*20=80
S четырёхугольника=80-20=60

Answer 2

Площадь четырёхугольника ABMN можно найти, зная площадь треугольника CNM и свойства срединного перпендикуляра в треугольнике.

Площадь треугольника CNM равна 20, а треугольник CNM подобен треугольнику ABC по принципу срединных перпендикуляров (так как M и N - середины сторон, а отрезок NM - это половина отрезка AC, а отрезок CM - это половина отрезка BC). Значит, коэффициент подобия между треугольниками CNM и ABC равен 1:2.

Площадь треугольника ABC будет в данном случае в 4 раза больше площади треугольника CNM (площадь меняется как квадрат коэффициента подобия). Таким образом, площадь треугольника ABC равна 20 * 4 = 80.

Поскольку четырёхугольник ABMN можно разбить на два треугольника: треугольник ABM и треугольник ANM, то площадь четырёхугольника ABMN равна сумме площадей этих двух треугольников.

Площадь треугольника ABM: Площадь треугольника ABM также будет в 4 раза больше площади треугольника CNM (поскольку треугольники ABM и CNM подобны). Таким образом, площадь треугольника ABM равна 20 * 4 = 80.

Площадь треугольника ANM: Так как AM является медианой треугольника ABC, то она разбивает противолежащую сторону BC пополам. Значит, треугольники ANM и CNM имеют общую высоту и равные основания, следовательно, их площади равны.

Итак, площадь треугольника ANM также равна 20.

Суммируя площади треугольников ABM и ANM, получаем: Площадь четырёхугольника ABMN = Площадь треугольника ABM + Площадь треугольника ANM = 80 + 20 = 100.