Question

В параллелограмме АВСD точка К лежит на стороне AD. Отрезок СК пересекает диагональ BD в точке N. а) Докажите, что треугольники BNC и DNK подобны. б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что ВС = 10 см, АК = 4 см, BN = 7 см.

Answer 1

Решение...............

Answer 2

а) Для доказательства подобия треугольников BNC и DNK, мы можем использовать следующие две пары подобных треугольников:

1. ΔBNC и ΔDNC (по общей стороне NC и общему вертикальному углу при N).
2. ΔDNC и ΔDNK (по общей стороне ND и общему вертикальному углу при D).

Таким образом, по транзитивности подобия, треугольники BNC и DNK подобны.

б) Поскольку треугольники BNC и DNK подобны, мы можем использовать их отношение сторон:

$\frac{BN}{NC} = \frac{DN}{NK}$.

Известно, что $BN = 7$ см, $AK = 4$ см и $BC = 10$ см.

Из условия, сторона BN расположена на диагонали BD, и BN делит её пропорционально. Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, $BN = ND = 7$ см.

Теперь мы можем найти NC:

$NC = BC - BN = 10 - 7 = 3$ см.

Теперь, подставляя значения в отношение сторон для треугольников BNC и DNK:

$\frac{7}{3} = \frac{DN}{NK}$.

Мы знаем, что $DN = BN = 7$ см. Подставляя это значение, получим:

$\frac{7}{3} = \frac{7}{NK}$.

Отсюда можно найти $NK$:

$NK = \frac{3 \cdot 7}{7} = 3$ см.

Теперь у нас есть все стороны треугольника DNK. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали BD:

$BD^2 = BN^2 + ND^2$.

Подставляя известные значения:

$BD^2 = 7^2 + 7^2 = 98 + 98 = 196$.

И, наконец:

$BD = \sqrt{196} = 14$ см.

Таким образом, длина диагонали BD составляет 14 см.