Question

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4√2 см,двугранный угол при стороне основания равен 60 градусов.Найдите площадь поверхности пирамиды.

Answer 1

Минимум 20 символов тут.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется формула для вычисления площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Площадь поверхности пирамиды состоит из площади её основания и площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по следующей формуле:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{апофема},$

где апофема - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Для правильной четырехугольной пирамиды (тетраэдра), периметр основания равен четырем длинам его ребер.

Первым шагом нам нужно найти длину апофемы. Для этого мы можем использовать одну из боковых граней пирамиды, так как она является равносторонним треугольником (все стороны и углы равны). В этом равностороннем треугольнике одновременно являются стороной пирамиды, апофемой и высотой. Угол между этой стороной и основанием равен 60 градусов. Зная длину стороны (основания), мы можем найти апофему следующим образом:

$\text{апофема} = \frac{\text{сторона}}{2} \times \frac{1}{\tan(\text{угол})}.$

В данном случае, сторона основания равна $4\sqrt{2}$ см, а угол равен 60 градусам.

$\text{апофема} = \frac{4\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{\tan(60^\circ)} = 4\sqrt{2} \, \text{см}.$

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \, \text{см}^2.$

Площадь основания можно найти как площадь равностороннего треугольника с длиной стороны $4\sqrt{2}$:

$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{сторона})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4\sqrt{2})^2 = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2.$

Таким образом, общая площадь поверхности пирамиды будет:

$S_{\text{пов}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 8\sqrt{2} + 16\sqrt{3} \, \text{см}^2.$

Это окончательный ответ.