Question

Параллельные стороны трапеций равны a и b. Найдите длину отрезка параллельную сторонам a и b которая делит площадь трапеций пополам.

Answer 1

Если обозначить длину искомого отрезка за c, получим следующее равенство:
(a+c)*h/2 = (c+b)*(H-h)/2
где h - высота трапеции со сторонами a и c, H - высота исходной трапеции со сторонами a и b

с другой стороны, рассматривая подобные треугольники, нетрудно показать, то (b-a)/(с-a) = H/h, то есть H = h*(b-a)/(с-a)

подставим H в первое уравнение:
(a+c)*h/2 = (c+b)*(h*(b-a)/(с-a)-h)/2
из чего (выносом h) следует
(a+c) = (c+b)*((b-a)/(с-a)-1)
или приведением к общему знаменателю суммы в скобках
(a+c) = (c+b)*(b-a-с+a)/(с-a)
или
(с-a)*(a+c) = (c+b)*(b-с)
или
с^2 - a^2 = b^2 - с^2
или
2*с^2 = b^2 + a^2
или
с = корень((b^2 + a^2)/2) - длина промежуточного отрезка равна корню из суммы квадратов a и b деленной на два - или среднеквадратичное из длин оснований

например a = 8, b = 6, с = корень((64+36)/2) = корень(50)

Answer 2

Пусть дана трапеция с параллельными сторонами a и b, и нам нужно найти длину отрезка, который делит площадь трапеции пополам.

Для удобства обозначим длину этого отрезка через x. Тогда трапеция разделится на два треугольника и трапеций. Пусть A и B - это точки, где этот отрезок пересекает стороны a и b соответственно.

Сначала рассмотрим треугольники:

1. Треугольник, образованный вершинами A, B и вершиной трапеции на параллельной стороне a, будет подобен треугольнику, образованному вершинами A, B и вершиной трапеции на параллельной стороне b. Подобные треугольники имеют соотношение длин сторон, равное соотношению длин сторон трапеции:

   (x / a) = (b / x)

2. Таким образом, x^2 = ab.

Теперь рассмотрим площади треугольников:

1. Площадь треугольника ABO (где O - это вершина трапеции на параллельной стороне a) равна (1/2) * x * h1, где h1 - это высота трапеции, опущенная из вершины O.

2. Площадь треугольника ABO (где O - это вершина трапеции на параллельной стороне b) равна (1/2) * x * h2, где h2 - это высота трапеции, опущенная из вершины O.

3. Так как треугольники ABO и ABO имеют одинаковую площадь (половину площади трапеции), то (1/2) * x * h1 = (1/2) * x * h2.

4. Сокращая на x, получаем h1 = h2.

5. Это означает, что высоты трапеции, опущенные из вершин на параллельных сторонах, равны друг другу.

Теперь, используя свойства трапеции, можно найти площадь трапеции через длины её оснований и высоту:

Площадь трапеции S = ((a + b) / 2) * h1 = ((a + b) / 2) * h2.

Так как h1 = h2, то ((a + b) / 2) * h1 = ((a + b) / 2) * h2.

Это означает, что площади трапеции равны, и мы нашли такую длину x, которая делит площадь трапеции пополам.

Итак, ответ: длина отрезка, параллельного сторонам a и b и делящего площадь трапеции пополам, равна √(ab).