Question

Отношение двух внутренних углов треугольника 2: 3, а внешних углов при тех же вершинах - 11: 9. Найдите третий внешний угол треугольника.

Answer 1

Первый угол - x, тогда внешний угол - (180 - x)
Второй угол - y, тогда внешний угол - (180 - y)
x/y = 2/3
(180 - x)/(180 - y) = 11/9

$\left \{ {{ \frac{x}{y} = \frac{2}{3} } \atop {\frac{180-x}{180-y} = \frac{11}{9} }} \right.$
Перемножаем крест-накрест оба уравнения
$\left \{ {{3x = 2y} \atop {1620-9x = 1890-11y}} \right. \\ \left \{ {{3x=2y} \atop {11y-9x = 1890-1620}} \right. \\ \left \{ {{3x=2y} \atop {11y-3*3x = 360}} \right. \\ \left \{ {{3x=2y} \atop {11y-3*2y = 360}} \right. \\ \left \{ {{3x=2y} \atop {5y = 360}} \right. \\ \left \{ {{3x=2y} \atop {y = 72}} \right. \\ \left \{ {{x=72*2:3} \atop {y = 72}} \right. \\ \left \{ {{x=48} \atop {y = 72}} \right.$

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов этого треугольника, то есть ∠α = x + y = 48 + 72 = 120°

Ответ: 120°

Answer 2

Давайте обозначим внутренние углы треугольника как A, B и C, где A и B соответствуют отношению 2:3. Тогда у нас есть следующие соотношения:

A = 2x B = 3x C = внутренний угол треугольника = 180° - (A + B) = 180° - (2x + 3x) = 180° - 5x

Также у нас есть внешние углы при тех же вершинах, которые дополняют внутренние углы до 180°. Поэтому внешний угол при вершине A равен 180° - A = 180° - 2x, а внешний угол при вершине B равен 180° - B = 180° - 3x.

Соотношение внешних углов равно 11:9, что можно записать как:

(внешний угол при вершине A) / (внешний угол при вершине B) = 11 / 9

(180° - 2x) / (180° - 3x) = 11 / 9

Теперь мы можем решить это уравнение для x:

(180° - 2x) * 9 = (180° - 3x) * 11

1620° - 18x = 1980° - 33x

15x = 360°

x = 24°

Теперь, когда мы нашли значение x, мы можем найти внешний угол при третьей вершине C:

Внешний угол при вершине C = 180° - C = 180° - (180° - 5x) = 180° - 180° + 5x = 5x = 5 * 24° = 120°

Итак, третий внешний угол треугольника равен 120°.