Question

Обчисліть площу трикутника якщо a(5;3;-2), b(4;-1;2;),c(1;3;-2)

Answer 1

AB(-1;-4;4)    |AB|=√(1+16+16)=√33
BC(-3;4;-4)    |BC|=√(9+16+16)=√41
AC(-4;0;0)     |AC|=4

Полупериметр p=(√33+√41+4)/2 

Формула Герона
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=
1/4*√((√33+√41+4)*(√41+4-√33)*(√33+4-√41)*(√41+√33-4)=
1/4√((√33+√41)^2-16)*(16-(√33-√41)^2)=
1/4√(33+41-16+2√33√41)(16-33-41+2√33√41)=
1/4√(4*33*41-58^2)=
8√2

Answer 2

Для обчислення площі трикутника, заданого координатами його вершин у тривимірному просторі, можна використовувати векторний підхід. Площа трикутника визначається як половина модуля векторного добутку двох його сторін.

Спочатку знайдемо вектори сторін трикутника AB та AC, використовуючи координати вершин:

Вектор AB = B - A = (4 - 5, -1 - 3, 2 - (-2)) = (-1, -4, 4). Вектор AC = C - A = (1 - 5, 3 - 3, -2 - (-2)) = (-4, 0, 0).

Тепер знайдемо векторний добуток векторів AB та AC:

Векторний добуток AB × AC = |i j k| |-1 -4 4| |-4 0 0|

Розрахунок векторного добутку: i * (0 * 0 - 0 * (-4)) - j * (-1 * 0 - 4 * 4) + k * (-1 * (-4) - (-4) * (-4)) i * 0 - j * (-16) + k * (16) = 16k.

Модуль векторного добутку |AB × AC| = |16k| = 16.

Остаточно, площа трикутника обчислюється як половина модуля векторного добутку:

Площа = 0.5 * |AB × AC| = 0.5 * 16 = 8.

Отже, площа трикутника ABC дорівнює 8 квадратним одиницям.