Question

в параллелограмме abcd bc:ab=1:2 середина m стороны ab соединена с отрезками с вершинами c и d докажите что угол cmd равен 90°

Answer 1

1Поскольку |АВ| = 2|ВС| и М – середина АВ, то |АМ| = |МВ| = |АВ|/2 = |ВС| = |AD| Соответ1ственно, в треуго2льнике МВС: |МВ| = |ВС|, и МВС – равнобе8дренный треугольник. Поэтому: ∠ВМС = 90° - ∠В/2 Точно также: |АМ| = |AD|, АМD – равнобед2ренный треугол7ьник, и: ∠АМD = 90° - ∠А/2 Так как: ∠АМD + ∠СМD + ∠ВМС = 180°, то ∠СМD = 180° - ∠АМD - ∠ВМС = 180°-(90°-∠А/2) – (90°-∠В/2) = (∠А+∠В)/2 АВСD – параллел3ограмм, и: ∠А + ∠В = 180° В резуль5тате получаем: ∠СМD=(∠А+∠В)/2=180°/2=90°.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и докажем, что угол CMD (где M - середина стороны AB, C - вершина, соединенная с M, и D - вершина, соединенная с M) равен 90°.

1. Известно, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому мы можем сказать, что BC = AD и AB || CD.

2. Также известно, что BC : AB = 1 : 2.

3. Поскольку M - середина стороны AB, то AM = MB.

Теперь мы можем начать доказательство:

Мы знаем, что уголы при основании параллелограмма равны (так как противоположные стороны равны), поэтому угол B = углу C.

Также у нас есть BC : AB = 1 : 2. Это означает, что:

BC = 1/3 * AB AB = 3 * BC

Теперь давайте рассмотрим треугольник AMB. Мы знаем, что AM = MB, а также AB = 3 * BC. Следовательно:

AM = MB = 3 * BC

Теперь давайте рассмотрим треугольник CDM. Мы знаем, что CD || AB, и у нас есть вертикальные углы:

∠C = ∠B ∠CDM = ∠AMB (по вертикальным углам)

Так как AM = MB, а CD = CD (очевидно), у нас есть:

∆CDM ≅ ∆AMB (по стороне-стороне-стороне)

А если два треугольника равны, то и их углы соответственно равны:

∠CMD = ∠AMC

Но у нас также есть AM || CD, так как AB || CD. Из этого следует, что:

∠AMC + ∠CMD = 180° (сумма углов на прямой)

Таким образом, ∠AMC и ∠CMD вместе дают 180°. Но мы знаем, что ∠AMC = ∠CMD (из равенства ∆CDM ≅ ∆AMB). Следовательно, каждый из этих углов равен 90°.

Таким образом, угол CMD равен 90°.