Question

ЗАДАЧА 1 Треугольник CDE - равнобедренный, CD=DE, C(4;-2;3), D(x;y;z), E(-1;1;2). Запишите уравнение относительно x, y, z, удовлетворяющее условиям задачи. Варианты ответов: 1)8x-4y-2z+7=0 2)5x+8y-3z-15=0 3)6x+5y+4z-15=0 4)10x-6y+2z-23=0 ЗАДАЧА 2 Найдите площадь треугольника MNT,если M(-6;0;0) N(0;8;0),T(0;0;2) ОТВЕТ:26

Answer 1

Ну это же почти устно всё.
В задаче 1 точка D лежит на плоскости, перпендикулярной EС и проходящей через его середину. Вектор EC = (5, -3, 1), поэтому уравнение плоскости должно иметь вид
5x - 3y + z + F = 0; где F - какое то число. Уже ясно, что из предложенных ответов подойти может только вариант 4), надо только проверить, что точка с координатами "(E + C)/2", то есть (3/2, -1/2, 5/2) удовлетворяет уравнению. 10*3/2 + 6*1/2 + 5*2/1 = 23; подходит.
В задаче 2 можно поступить "тупо" - найти длины сторон треугольника
(10, √40, √68) и вычислить площадь по формуле Герона. Это очень хорошее упражнение. Но есть, конечно, и более простой способ - расстояние от точки T до MN (MN = 10) вычислить довольно просто, так как расстояние от точки O до MN - это высота египетского треугольника OMN, она равна 6*8/10 = 4,8; если основание этой высоты обозначить буквой H, то треугольник TOH тоже оказывается пифагоровым - у него катеты 2 и 4,8, то есть это треугольник, кратный (5,12,13), и третья сторона равна 5,2
Площадь MNT равна 10*5,2/2 = 26

Answer 2

ЗАДАЧА 1: Треугольник CDE - равнобедренный, CD=DE. Значит, вектор CD равен вектору DE.

Вектор CD: (x - 4, y + 2, z - 3) Вектор DE: (-1 - x, 1 - y, 2 - z)

Так как вектор CD равен вектору DE, можно записать следующие уравнения:

x - 4 = -1 - x y + 2 = 1 - y z - 3 = 2 - z

Решим эти уравнения относительно x, y и z:

1. x - 4 = -1 - x 2x = 3 x = 3/2

2. y + 2 = 1 - y 2y = -1 y = -1/2

3. z - 3 = 2 - z 2z = 5 z = 5/2

Таким образом, координаты точки D равны (3/2, -1/2, 5/2).

Уравнение плоскости можно найти, используя координаты точки C(4;-2;3) и вектор нормали (векторное произведение векторов CD и CE):

Вектор CD: (3/2 - 4, -1/2 + 2, 5/2 - 3) = (-5/2, 3/2, -1/2) Вектор CE: (-1 - 4, 1 - (-2), 2 - 3) = (-5, 3, -1)

Вектор нормали: CD x CE = ((3/2)(-1/2) - (3/2)3, (-5/2)(-1/2) - (-1/2)(-5), (-5/2)3 - (3/2)(-5)) = (3/4, 5/4, -15/2)

Уравнение плоскости: 3/4x + 5/4y - 15/2*z + d = 0

Подставим координаты точки C(4;-2;3) и найдем d:

3/44 + 5/4(-2) - 15/2*3 + d = 0 3 + (-10/4) - 45/2 + d = 0 d = 45/2 - 3 + 10/4 d = 23/4

Итак, уравнение плоскости равно: 3/4x + 5/4y - 15/2*z + 23/4 = 0.

Сравнивая данное уравнение с вариантами ответов, видим, что правильный ответ - 4) 10x - 6y + 2z - 23 = 0.

ЗАДАЧА 2: Для нахождения площади треугольника MNT можно использовать формулу Герона для треугольников в пространстве.

Сначала найдем длины сторон треугольника:

a = MN = √((0 - (-6))^2 + (8 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10 b = NT = √((0 - 0)^2 + (0 - 8)^2 + (2 - 0)^2) = √(0 + 64 + 4) = √68 c = MT = √((-6 - 0)^2 + (0 - 8)^2 + (0 - 2)^2) = √(36 + 64 + 4) = √104

Полупериметр треугольника: s = (a + b + c) / 2 = (10 + √68 + √104) / 2

Площадь треугольника по формуле Герона: S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Подставляем значения и вычисляем: S = √((10 + √68 + √104) / 2 * (10 + √68 + √104) / 2 - 10 * (10 + √68 + √104) / 2 + √68 * (10 + √68 + √104) / 2 - √104 * (10 + √68 + √104) / 2)

После вычислений получим: S ≈ 26

Таким образом, площадь треугольника MNT составляет около 26, что соответствует данному ответу.