Question

На сторонах угла отложены равные отрезки BD=BE, на них на одинаковом расстоянии от вершины угла отложены точки A и C. Дополни доказательство, что ∡DCE=∡EAD.

Answer 1

Треугольник BDE равнобедренный так как стороны BD и BE равны из условия. Значит угол ADE равен углу CED. Рассмотрим треугольники ADE и CED. Они подобны и равны друг другу так как две строны: AD = CE и DE = ED и угол между ними (угол ADE = углу CDE) равны. Так как треугольники равны то и угол DCE = углу EAD.

Answer 2

Для доказательства того, что ∡DCE = ∡EAD, мы можем использовать свойства параллельных линий и вертикальных углов. Давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Поскольку отрезки BD и BE равны, то точки D и E равноудалены от вершины угла C. Это означает, что отрезок DE является биссектрисой угла C.

2. Так как точки A и C отложены на одинаковом расстоянии от сторон угла, то отрезок AC также является биссектрисой угла C.

3. Биссектрисы угла делят его на два равных угла. Поскольку отрезки DE и AC являются биссектрисами угла C, у нас есть ∠DCB = ∠ECA и ∠ECB = ∠DCA.

4. Теперь рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что ∠DCA = ∠ECB (по пункту 3) и ∠ACD = ∠BCE (вертикальные углы). Следовательно, по угловой стороне треугольника, ∆ADC подобен ∆BCE.

5. Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны и равные углы. Это означает, что соответствующие отношения сторон равны, и мы можем написать:

   AD / BC = CD / CE

6. Поскольку BD = BE, то CD = CE.

   AD / BC = CD / CE = CE / CE = 1

7. Из равенства AD / BC = 1 следует, что AD = BC.

8. Теперь рассмотрим треугольник AED. У нас есть AD = BC, AE = BE и DE общая сторона. По стороне-стороне-стороне (ССС) у этих треугольников все стороны равны, следовательно, ∆AED равен ∆BCE.

9. Если два треугольника равны, то их соответствующие углы равны. Таким образом, ∠DCE = ∠EAD.

Таким образом, мы доказали, что ∠DCE = ∠EAD, используя свойства биссектрис угла, вертикальные углы и подобные треугольники.