Question

Площадь треугольника на 27 см2 больше площади подобного треугольника. Периметр меньшего треугольника относится к периметру большего треугольника как 4:5. Определи площадь меньшего из подобных треугольников.

Answer 1

Обозначим меньший треугольник АВС, больший треугольник А1В1С1, 
по условию эти треугольники подобны... 
Р(АВС) : Р(А1В1С1) = 4:5 (это и есть коэффициент подобия)
известно:
периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия,
площади относятся как квадрат коэффициента подобия
(объемы относятся как куб коэфф.подобия) 
S(АВС) : S(А1В1С1) = 16:25
или 25*S(АВС) = 16*S(А1В1С1) 
S(А1В1С1) = (25/16)* S(АВС)     АВС--меньший треугольник
S(А1В1С1) - S(АВС) = 27 (см²) (по условию)
(25/16)*S(АВС) - S(АВС) = 27 (см²) 
S(АВС)*((25/16) - 1) = 27 (см²) 
S(АВС)*(9/16) = 27 
S(АВС) = 27*16/9 = 3*16 = 48 (см²)

Answer 2

Давайте обозначим площадь меньшего треугольника как S1, а площадь большего треугольника как S2. Также пусть периметр меньшего треугольника будет P1, а периметр большего треугольника - P2.

Так как меньший треугольник подобен большему, отношение длин сторон между ними будет одинаковым. Пусть это отношение будет k.

Тогда можно записать следующие соотношения:

1. Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, которая опущена на данное основание. Так как у подобных треугольников высоты пропорциональны длинам их оснований, площадь треугольника пропорциональна квадрату длины его основания.

2. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

Теперь запишем данные условия:

1. S2 = S1 + 27 (площадь большего треугольника на 27 см² больше меньшего)
2. P1/P2 = 4/5 (отношение периметров)

Поскольку площадь треугольника пропорциональна квадрату длины его основания, а периметр пропорционален длине основания, то можно записать:

(S1/S2) = (P1/P2)^2

Теперь заменим P1/P2 в этом выражении:

(S1/S2) = (4/5)^2 S1/S2 = 16/25

Теперь, зная, что S2 = S1 + 27, подставим это значение в уравнение:

S1/(S1 + 27) = 16/25

Решим это уравнение:

25S1 = 16S1 + 16 * 27 25S1 = 16S1 + 432 25S1 - 16S1 = 432 9S1 = 432 S1 = 432/9 S1 = 48

Таким образом, площадь меньшего треугольника S1 равна 48 квадратным сантиметрам.