Question

В выпуклом четырёхугольнике NPLM диагональ NL является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке T. Найдите NT, если известно, что около четырёхугольника NPLM можно описать окружность, PL=18, TL=10

Answer 1

∠PNL = ∠MNL - по условию

∠MNL = ∠MPL - как вписанные углы, опирающиеся на общую дугу ML

Значит, ∠MPL = ∠PNL = ∠MNL

ΔPTL подобен ΔPNL по двум углам ( ∠MPL = ∠PNL , ∠PLN - общий )

Составим отношения сходственных сторон:

PL/NL = TL/PL = PT/PN  

PL•PL = NL•TL ⇒ PL² = NL•TL

PL² = ( TL + NT ) • TL

PL² = TL² + NT•TL

NT = ( PL² - TL² )/TL

NT = ( 18² - 10² )/10 = 224/10 = 22,4

ОТВЕТ: 22,4

Answer 2

Чтобы найти NT, следует воспользоваться свойствами окружностей и биссектрисой угла.

1. Известно, что около четырёхугольника NPLM можно описать окружность. Это означает, что угол NPM равен углу TLM, так как эти углы образованы хордами, пересекающими окружность в одной точке.

2. Заметим, что угол TLM также является углом TLP (по свойству касательных, опирающихся на одну хорду в одной и той же точке).

3. Из пункта 1 и 2 следует, что угол NPM равен углу TLP.

4. Так как диагональ NL является биссектрисой угла PNM, то угол NPL равен углу NPM.

5. Следовательно, угол NPL также равен углу TLP.

6. Вспомним, что противоположные углы в описанном четырёхугольнике равны, значит угол TLP равен углу TPM.

Теперь у нас есть равные углы: угол NPL равен углу TPM.

7. Также известно, что диагональ NL является биссектрисой угла PNM, что означает, что отношение длин отрезков NP и PL равно отношению длин отрезков NM и ML.

8. Поскольку PL=18 и TL=10, то NP=2 * PL = 2 * 18 = 36 (так как NP и PL имеют равные отрезки NM и ML)

9. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник NPT со сторонами 36, 10 и NT. Мы знаем, что угол NPT прямой, так как он опирается на диаметр окружности NPLM (диагональ NL). Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора:

(NT)^2 = (NP)^2 + (PT)^2 (NT)^2 = 36^2 + 10^2 (NT)^2 = 1296 + 100 (NT)^2 = 1396

10. Наконец, вычисляем NT:

NT = √1396 ≈ 37.37

Таким образом, NT ≈ 37.37.