Question

В выпуклом четырёхугольнике MPKT диагональ TP является биссектрисой угла MTK и пересекается с диагональю MK в точке A. Найдите AP, если известно, что около четырёхугольника MPKT можно описать окружность, МР=16, АТ=24. Даю 30 баллов.

Answer 1

Ответ: АР=8

Объяснение (подробно):

ТР - биссектриса ⇒ ∠КТР=∠РТМ.

Т.к. около четырехугольника описана окружность, все углы, вершины которых лежат на ней, -вписанные. Вписанные  углы, которые опираются на одну дугу,  равны; равны и хорды, которые стягивают равные дуги.

 Угол РМК опирается на дугу РК,  и угол КТР опираются на дугу КР,  следовательно они равны. Но им равен и угол РТМ , следовательно, равны хорды КР=РМ=16.

Примем АР=х. Тогда ТР=ТА+х=24+х

Рассмотрим ∆ ТКР и АКР. Они имеют по два равных угла, следовательно, подобны. Из их подобия следует отношение ТР:КР=КР:АР ⇒

(24+х):16=16:х

Из пропорции получаем 14х+х²=256 ⇒ х²+24х-256. Решив квадратное уравнение находим х₁=8; х₂=-32 ( не подходит).

АР=х=8.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и воспользуемся информацией о том, что около четырёхугольника MPKT можно описать окружность. Это означает, что углы, образованные дугами MP, PT, TK и KM, будут равны половине соответствующих центральных углов.

Для начала, давайте обозначим угол MPK как α. Тогда угол MTK также будет равен α, так как TP является биссектрисой угла MTK. Из условия, что окружность описана вокруг MPKT, мы также знаем, что угол MPK + угол MTK = 180 градусов.

Таким образом, у нас есть: α + α = 180°, 2α = 180°, α = 90°.

Теперь мы знаем, что угол MTK равен 90 градусов.

Далее, обратим внимание на треугольник MAT. Мы знаем, что AT = 24 и угол MAT равен половине угла MTK (половина 90 градусов), то есть 45 градусов. Так как у нас есть две известные стороны и угол между ними, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения стороны MA:

MA^2 = MT^2 + AT^2 - 2 * MT * AT * cos(45°).

MT = 16 (по условию), AT = 24, и cos(45°) = 1/√2.

MA^2 = 16^2 + 24^2 - 2 * 16 * 24 * 1/√2 MA^2 = 256 + 576 - 768/√2 MA^2 = 832 - 768/√2.

Теперь найдем MA:

MA = √(832 - 768/√2).

Вычислим это значение:

MA ≈ √(832 - 768/√2) ≈ √(832 - 544.6506) ≈ √287.3494 ≈ 16.9514.

Итак, MA примерно равно 16.9514.

Теперь у нас есть длина стороны MA. Чтобы найти AP, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника AMP:

AP^2 = MA^2 - MP^2.

MP = 16 (по условию), MA ≈ 16.9514.

AP^2 = (16.9514)^2 - 16^2 AP^2 ≈ 287.3494 - 256 AP^2 ≈ 31.3494.

AP ≈ √31.3494 ≈ 5.606.

Итак, длина AP примерно равна 5.606.