Question

В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=44 , SQ=22 .

Answer 1

 Рассмотрим треугольник $PNM$.
 Так как  сторона  $NS$ - общая , то $PNS=NSM$. 
 Тогда  $PS=SM$ , так как  $NQ$ биссектриса. 
 По свойству хорд получаем  $22*NS=PS*MS$  
$>   Воспользуемся теоремой  Птолемея , получим          <img src=$ так как треугольники  $PNQ;MNQ$       равны, то $MQ=PN\\\\ (PS+22)*2MS=88NM\\ 22NS=MS^2\\ NP=NM$ 
 откуда получаем  
   $(PS+MS)(22+\frac{PS*MS}{22})=88*\frac{(PS+MS)MS}{PS} \\ PS*MS=1936-484=1452\\ NS=\frac{1452}{22}=66$