Question

Острые углы прямоугольного треугольника равны 20 и 70. Найти угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.

Answer 1

Биссектриса делит прямой угол треугольника на 2 угла по 45 градусов. Рассмотрим треугольник, образованный высотой и меньшим катетом(рядом с углом в 70 градусов). Тогда угол, лежащий между меньшим катетом и высотой, равен 90-70=20(по условию, высота образует со стороной угол 90 градусов).
Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой и меньшим катетом. Тогда угол между биссектрисой и высотой равен 45-20=25.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся свойства треугольников и их углов.

1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, всегда равен 45 градусов.

Доказательство:

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине B. Проведем высоту BH из вершины B к гипотенузе AC и биссектрису BM, где M - точка пересечения биссектрисы и высоты.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол B равен 90 градусам. По свойству прямоугольных треугольников, угол, образованный гипотенузой и высотой, равен 90 градусам. Следовательно, угол BHM также равен 90 градусам.

Далее, в треугольнике ABM угол B равен 90 градусам, и угол M равен углу MBH (по свойству биссектрисы), а значит угол MBH тоже равен 90 градусам.

Таким образом, угол BHM равен сумме углов MBH и BMH, то есть 90 градусов + 90 градусов = 180 градусов. Но треугольник BHM является прямой, и сумма его углов равна 180 градусов, что невозможно. Таким образом, мы делаем вывод, что угол MBH не может быть равен 90 градусам.

Единственный возможный вариант — угол MBH равен 45 градусам.

Итак, угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 45 градусов.