Question

в прямоугольном теругольнике АВС угол С =90 градусов проведина бисектриса СD . Угол ADC=75 градусов и сторона АС =3 см .Найдите углы А и угол В , длину отрезка АВ

Answer 1

Дано: АВСуг.С=90*СД-биссектриса(у.1+у.2)уг.АДС=75*АС=3смНайти:уг.А и уг.ВАВ-?решение:т.к.СД- биссектриса уг.С, то у.1=у.2=90:2=45*т.к у.А +у.1+у.АДС=180*-(75*+45*)=60*т.к. у.А+у.В=90*, то у.В= 90*-60*=30*т.к. у.В=30*,то АС=1/2АВ➡АВ=3•2=6смОтвет: 30*,60* и 6 см.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся известными свойствами биссектрисы и теоремой синусов.

1. Свойство биссектрисы: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные длинам других двух сторон треугольника.

2. Теорема синусов: В прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c, справедливо следующее соотношение: c^2 = a^2 + b^2.

По условию у нас прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90° и сторона AC = 3 см.

1. Найдем длину отрезка AD: Согласно свойству биссектрисы, отношение длины отрезка CD к длине отрезка BD равно отношению длины стороны AC к длине стороны AB: CD/BD = AC/AB.

Так как угол ADC = 75°, то угол BDC (угол между биссектрисой и стороной AB) равен 75° / 2 = 37.5°.

Теперь можем найти длину отрезка BD: tan(37.5°) = BD/AC. BD = AC * tan(37.5°) = 3 * tan(37.5°).

Известно, что tan(45°) = 1, и tan(30°) = sqrt(3) / 3.

Таким образом, tan(37.5°) = tan(45° - 7.5°) = (1 - tan(7.5°)) / (1 + tan(7.5°)) = (1 - tan(30°)) / (1 + tan(30°)) = (1 - sqrt(3) / 3) / (1 + sqrt(3) / 3) = (3 - sqrt(3)) / (3 + sqrt(3)).

BD = 3 * (3 - sqrt(3)) / (3 + sqrt(3)) ≈ 1.15 см.

Теперь можем найти длину отрезка AD: AD = AC - CD = 3 - BD ≈ 3 - 1.15 ≈ 1.85 см.

2. Найдем углы A и B:

Угол ADB (угол между биссектрисой и стороной BC) также равен 37.5°, так как угол ADC = угол BDC = 75° / 2 = 37.5°.

Теперь можем найти углы A и B: Угол A = 180° - угол ADC - угол ADB = 180° - 75° - 37.5° = 67.5°. Угол B = 180° - угол BDC - угол ADB = 180° - 37.5° - 37.5° = 105°.

3. Найдем длину отрезка AB:

Согласно теореме Пифагора (теореме синусов) для прямоугольного треугольника ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2, AB^2 = 3^2 + (AD + BD)^2, AB^2 = 9 + (1.85 + 1.15)^2, AB^2 = 9 + 3^2, AB^2 = 9 + 9, AB^2 = 18.

AB = sqrt(18) ≈ 4.24 см.

Итак, в прямоугольном треугольнике ABC углы A и B равны 67.5° и 105° соответственно, а длина отрезка AB составляет около 4.24 см.