Question

Формулы преобразования тригонометрических функции углов 90°-a, 90°+a, 180°-a С объяснениями что откуда взялось

Answer 1

Нужно представлять себе единичную окружность

знать какая из осей = ось синусов, а какая косинусов

станет (может) понятно, что углы 90-а и 90+а дают равные значения по одной из осей и равные значения с противоположным знаком по другой

отсюда и взялось

Answer 2

Для преобразования тригонометрических функций углов $90°-a$, $90°+a$ и $180°-a$ мы воспользуемся формулами для синуса, косинуса и тангенса разности и суммы углов. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности и объясним, откуда взялись эти формулы.

1. Преобразование $90°-a$:

Тригонометрические функции $90°-a$ связаны с функциями угла $a$ следующим образом:

$\sin(90°-a) = \cos(a)$

$\cos(90°-a) = \sin(a)$

$\tan(90°-a) = \frac{1}{\tan(a)}$

Объяснение: Это можно объяснить геометрически. Угол $90°-a$ образуется путем вращения отрезка длиной 1 вокруг начала координат на угол $a$ против часовой стрелки. Таким образом, его проекции на оси x и y равны соответственно $\cos(a)$ и $\sin(a)$. Отсюда и происходят формулы преобразования.

2. Преобразование $90°+a$:

Тригонометрические функции $90°+a$ связаны с функциями угла $a$ следующим образом:

$\sin(90°+a) = \cos(a)$

$\cos(90°+a) = -\sin(a)$

$\tan(90°+a) = -\frac{1}{\tan(a)}$

Объяснение: Это также можно объяснить геометрически. Угол $90°+a$ образуется путем вращения отрезка длиной 1 вокруг начала координат на угол $a$ по часовой стрелке. Таким образом, его проекции на оси x и y равны соответственно $-\sin(a)$ и $\cos(a)$. Отсюда и происходят формулы преобразования.

3. Преобразование $180°-a$:

Тригонометрические функции $180°-a$ связаны с функциями угла $a$ следующим образом:

$\sin(180°-a) = \sin(a)$

$\cos(180°-a) = -\cos(a)$

$\tan(180°-a) = -\tan(a)$

Объяснение: Здесь тоже можно применить геометрическое объяснение. Угол $180°-a$ образуется путем вращения отрезка длиной 1 вокруг начала координат на угол $a$ на 180 градусов. Таким образом, его проекции на оси x и y равны соответственно $-\cos(a)$ и $\sin(a)$. Отсюда и происходят формулы преобразования.

Эти формулы могут быть полезны в решении задач, связанных с поворотами и преобразованиями углов.