Question

В треугольнике MNK проведена биссектриса NA. Докажите, что AK:AM=NK:NM

Answer 1

Доказательство и чертёж на приложенном изображении.

Answer 2

Для доказательства того, что в треугольнике MNK, в котором проведена биссектриса NA из вершины N, выполняется равенство AK:AM = NK:NM, мы воспользуемся теоремой о биссектрисе:

Теорема о биссектрисе гласит, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника.

В нашем случае, биссектриса NA делит сторону MK на две отрезка: AK и KM. Из теоремы о биссектрисе, мы знаем, что:

AK:KM = AN:NM.

Теперь нам нужно выразить AN и AM через другие стороны треугольника.

Рассмотрим треугольник ANK. Мы знаем, что NA является биссектрисой, следовательно:

AN/NK = AM/MK.

Также, из треугольника AMK:

AM/MK = AK/NK.

Теперь объединим эти два равенства:

AN/NK = AK/NK.

Теперь убираем NK из обеих частей уравнения:

AN = AK.

Теперь, подставив это значение AN в равенство AK:KM = AN:NM, получим:

AK:KM = AK:NM.

Теперь умножим обе части на KM:

AK * KM = AK * NM.

Теперь сокращаем AK на обеих сторонах:

KM = NM.

Таким образом, мы доказали, что KM = NM, что означает, что AK:AM = NK:NM.