Question

Один из углов прямоугольного треугольника = 60°, а сумма гипотенузы и малого катета = 18 см. Найдите гипотенузу и малый катет.

Answer 1

Третий угол=180-60-90=30'
Катет лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы следовательно
Пусть малый катет это а
Тогда гипотенуза 2а
a+2a=18см

а=6см.
Ответ: Малый катета равна 6 см, А гипотенуза 12 см

Answer 2

Давайте обозначим гипотенузу как $c$ и малый катет как $a$.

У нас есть два угла прямоугольного треугольника: $60^\circ$ и $90^\circ$. Таким образом, третий угол равен $180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

Мы можем использовать функции тригонометрии для решения этой задачи. В прямоугольном треугольнике, отношение между сторонами и углами задается тремя тригонометрическими функциями: синус, косинус и тангенс.

1. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\theta) = \frac{a}{c}$.
2. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\theta) = \frac{b}{c}$.
3. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $\tan(\theta) = \frac{a}{b}$.

В данном случае у нас угол $60^\circ$ имеет смежные катеты $a$ и $b$ (малый и большой катеты). Таким образом, можем использовать тригонометрические отношения для этого угла:

$\sin(60^\circ) = \frac{a}{c} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{c}$,

$\cos(60^\circ) = \frac{b}{c} \implies \frac{1}{2} = \frac{b}{c}$.

Также, у нас есть условие, что сумма гипотенузы и малого катета равна 18 см: $a + c = 18$.

Мы можем использовать систему уравнений для решения этой задачи. Решим сначала уравнения для $a$ и $c$:

1. $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{c} \implies a = \frac{\sqrt{3}}{2}c$.

2. $\frac{1}{2} = \frac{b}{c} \implies b = \frac{1}{2}c$.

Теперь, подставим значение $a$ в условие суммы:

$a + c = \frac{\sqrt{3}}{2}c + c = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right)c = 18$.

Теперь найдем значение $c$:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right)c = 18$.

$c = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}$.

$c = \frac{18}{\frac{\sqrt{3} + 2}{2}} = \frac{18 \cdot 2}{\sqrt{3} + 2} = \frac{36}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2} = \frac{36(\sqrt{3} - 2)}{3 - 2} = 36(\sqrt{3} - 2)$